Resimli Soru 10-02-2026 00:03:11

YKS TYT
1

IMG20260210000259
IMG20260210000259720×1277 38.8 KB

2

Tip-3 Sorusu: a·b Çarpımının En Büyük Değeri Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • a ve b doğal sayı, x reel sayıdır.
  • a = 11 – x ve b = x + 13 olarak tanımlanmıştır.
  • Maksimum değer, ikinci dereceden bir ifadede tepe noktasında elde edilir.

Doğrudan Cevap

a·b ifadesinin en büyük değeri $144$’tür. (Doğru seçenek: E) 144)

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Özet Tablo
  3. SSS

1. Detaylı Çözüm

Çarpımı açalım:

a\cdot b = (11 - x)\,(x + 13)

İç çarpımı gerçekleştirirsek:

a\cdot b = 11x + 143 - x^2 - 13x = -x^2 - 2x + 143

Bu, tepe noktası aşağı bakan bir parabol olduğu için maksimum değeri tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktası x_0 değerine şu formülle ulaşılır:

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2\cdot(-1)} = -1

Buna göre maksimum değer:

a\cdot b\bigl|_{x=-1} = -(-1)^2 -2(-1) +143 = -1 +2 +143 = 144

2. Özet Tablo

Adım Formül veya Sonuç
a·b açılımı -x^2 - 2x + 143
Tepe noktası x_0 -1
Maksimum değer 144

3. SSS

S1: Parabolün tepe noktası neden maksimum değeri verir?
Çünkü katsayısı negatif olan ikinci dereceden ifadeler aşağı doğru açılır; tepe noktasındaki değer en yüksektir.

S2: Tepe noktası formülü nedir?
Genel formdaki ax^2+bx+c parabolü için x_0=-\frac{b}{2a} şeklindedir.

S3: Doğal sayı tanımı nedir?
Pozitif tam sayılar (1, 2, 3, …) ya da bazen 0 da dahil edilerek (0,1,2…) kabul edilir.

S4: Reel sayı nedir?
Kesirli ve tam sayıları kapsayan sayı kümesidir.

Başka benzer sorular çözmek ister misiniz, örneğin farklı sabitlerde aynı ifadeyi inceleyelim mi @Ahmet_Yasin1?

3

Resimli Soru 10-02-2026 00:03:11 - TİP 3 Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • a ve b doğal sayılar, x reel sayıdır.
  • a ve b birbirine bağlıdır: a = 11 - x ve b = x + 13
  • Amaç a \cdot b çarpımının en büyük değerini bulmak.
  • a ve b doğal sayı olduğuna göre a,b \in \mathbb{N} ve \lfloor a \rfloor, \lfloor b \rfloor olmalı.

a \cdot b ifadesinin maksimum değeri, verilen bağıntılar ve doğal sayılar koşuluyla 120’dir (Şık D).

İçindekiler

  1. Problem Analizi ve Denklem Kurulumu
  2. Fonksiyonun İncelenmesi ve Maksimum Değer Bulma
  3. Karşılaştırma Tablosu: a, b ve x İlişkisi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problem Analizi ve Denklem Kurulumu

Verilen:

a = 11 - x, \quad b = x + 13, \quad a, b \in \mathbb{N}, \quad x \in \mathbb{R}

Hedef:

\max (a \cdot b) = \max \left( (11 - x)(x + 13) \right)

Burada a,b doğal sayı olmalı, yani pozitif ve tam sayılar. x gerçek sayı, ancak a ve b doğal sayılar olacağından x kısıtlandı:

  • a=11-x > 0 \implies x < 11
  • b=x+13 > 0 \implies x > -13

Yani x \in (-13, 11).

:light_bulb: Pro Tip: İki değişken için parametrik formda verilen çarpımı maksimum yapmak için fonksiyonun tepe noktası (vertex) incelenir.

Fonksiyonun İncelenmesi ve Maksimum Değer Bulma

Fonksiyon:

f(x) = (11 - x)(x + 13) = -x^2 - 2x + 143

Adım 1: Fonksiyon açılımı

(11 - x)(x + 13) = 11x + 143 - x^2 - 13x = -x^2 - 2x + 143

Adım 2: Maksimum değeri bulmak için türev alınır:

f'(x) = -2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1

Adım 3: Fonksiyonun maks. değeri:

f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 143 = -1 + 2 + 143 = 144

Ancak a ve b doğal sayı olmalı.

a ve b değerlerine bakalım:

a = 11 - (-1) = 12, \quad b = -1 + 13 = 12

Burada a=12, b=12, ancak sorun doğal sayılar arası mı deniyor yoksa sadece tam sayı mı? Soruda “a ve b doğal sayılar” deniyor yani pozitif tam sayılar. Bu koşul sağlanıyor.

Ancak seçenekler arasında 144 yok. Burada bir tutarsızlık var.

Fakat verilen şıklara göre, problem doğal sayılar koşulu ile maksimum değeri soruyor. Muhtemelen a = 11 - x ve b = x + 13 ifadeleri bir gerçek sayı aralığında değişiyor ama a,b doğal sayı olmalı, yani a,b tam sayı olmalı.
Bu durumda x reel sayıdır ama a,b doğal sayı olması için:

  • 11 - x = a \in \mathbb{N} → x = 11 - a
  • x + 13 = b \in \mathbb{N} → x = b - 13

Bu demektir ki:

11 - a = b - 13 \Rightarrow a + b = 24

Yani a,b doğal sayılar ve a + b = 24.

Maksimum ürün:

a \cdot b = a \cdot (24 - a) = 24a - a^2

Şimdi a \in \mathbb{N}, 1 \leq a \leq 23

Fonksiyon maksimumu için:

f(a) = 24a - a^2

Türev:

f'(a) = 24 - 2a = 0 \Rightarrow a = 12

Buna göre b = 24 - 12 = 12

Maksimum çarpım:

12 \times 12 = 144

Ama seçeneklerde 144 yok. Son seçenek E) 144 var, aradığımız maksimum değer.

:bullseye: Anahtar Nokta: Problemden a + b = 24 olduğu çıkarılır ve maksimum ürün a = b = 12 için 144 olur.

Karşılaştırma Tablosu: a, b ve x İlişkisi

a b x değeri a·b değeri Doğal Sayı mı?
11 - x x + 13 x = 11 - a a(24 - a) Evet, a, b doğal sayı
12 12 -1 144 Evet
10 14 -1 veya 1 140 Evet
13 11 -2 veya 0 143 Evet

Özet Tablo

Element Detay
a ve b Tanımı a = 11 - x, b = x + 13
Koşul a,b \in \mathbb{N}
Bağıntı a + b = 24
Maksimum a·b a = b = 12, \quad a \cdot b = 144
Doğal Sayı Kısıtı Sağlanıyor
Şık Cevap E) 144

Sık Sorulan Sorular

1. a ve b doğal sayı olunca x nasıl bulunur?
x reel sayı, ancak a ve b’nin doğal sayı olması için x = 11 - a = b - 13 olmalıdır. Böylece a + b = 24 olur.

2. Maksimum değeri bulmak için neden türev kullandık?
Çarpım fonksiyonumuz ikinci dereceden parabol olduğu için, türev alarak tepe noktasını (maksimum değeri) bulduk.

3. Eğer x tam sayı olsaydı ne olurdu?
O zaman x tam sayı olmalıydı, ancak doğal sayılar ve x reel olduğunda sadece a ve b tam sayı şartına odaklandık.

Sonraki Adımlar

Bu tür parametreli fonksiyonların maksimum/minimum problemlerini daha iyi anlamak için “Parabol Fonksiyonları ve Tepe Noktası Problemleri” üzerinde yoğunlaşmak ister misin?

@Ahmet_Yasin1