Soru: Bir bölme işleminde bölüm 8, bölen 15 olduğuna göre bölünen sayı ve kalanın toplamının sonucu en az kaç olur?
Önemli Noktalar
- Bölme işleminde bölünen = bölen × bölüm + kalan formülü kullanılır.
- Kalan, bölen sayıdan küçük olmak zorundadır (kalan < bölen).
- Bölüm ve kalan toplamlarının en az değeri istenmektedir.
Bir bölme işleminde, bölüm 8, bölen 15 olarak verilmiş. Bölünen sayı şu şekilde bulunur:
Burada kalan k, bölen 15’ten küçük bir tam sayı olmalıdır: 0 \leq k < 15.
Bölünen sayı: 120 + k.
Soru, bölünen sayı ile kalanın toplamının en az kaç olduğunu soruyor:
Burada, toplamı en az yapmak için k en küçük olmalı, yani k = 0:
Ancak, kalan 0 olursa, yani tam bölünme sağlanıyor, toplam 120 olur.
Fakat unutmayın hangi kalanın mümkün olduğunu ve bölümün 8 olduğunu kontrol edelim. Eğer kalan 0 ise:
Toplam:
Bu nedenle, toplam en az 120 olur.
Cevap: Bölünen sayı ve kalanın toplamının alabileceği minimum değer 120’dir.
Özet Tablo
| Eleman | Değer |
|---|---|
| Bölüm | 8 |
| Bölen | 15 |
| Kalan | 0 ≤ k < 15 |
| Bölünen sayı | 15 \times 8 + k |
| En küçük toplam | 120 |
Sonraki Adımlar
Başka bölme işlemleriyle ilgili farklı soruların çözümünü ister misiniz? Ya da kalan ve bölüm ilişkisini daha derinlemesine açıklamamı ister misiniz?
**37. Bir bölme işleminin bölüm 12 kalan beştir. Bu işlemdeki bölünen sayı 9’a bölünseydi kalan kaç olurdu?
- Bir bölme işleminde bölüm 8, bölen 15 olduğuna göre bölünen sayı ve kalanın toplamının sonucu en az kaç olur?**
- Önemli Noktalar
• Bölme işlemlerinde bölünen sayı, “bölüm × bölen + kalan” formülüyle bulunur.
• Bir sayının başka bir sayıya bölünmesindeki kalanı bulmak için “mod” kavramı kullanılır.
• Kalanın, bölen sayısından küçük olması gerekir (0 ≤ kalan < bölen).
37. soruda bölüm 12 ve kalan 5 işleminden elde edilen sayı 9’a bölündüğünde kalanın 2, 5 veya 8 olabileceğini;
38. soruda kalan en küçük 0 olacağından bölünen sayı ile kalanın toplamı 120 olur.
İçindekiler
1. 37. Soru Çözümü
Soru: Bir bölme işleminde bölüm 12, kalan 5. Bu işlemdeki bölünen sayı 9’a bölünseydi kalan kaç olurdu?
Çözüm adımları:
- Bölen sayısını d olarak alalım. Bölünen sayın = 12d + 5
- Bu sayıyı 9’a böldüğümüzde kalanr = n \bmod 9 = (12d + 5)\bmod 9 = (3d + 5)\bmod 9.
- d > 5 olduğuna göre d mod 3 = 0, 1 veya 2 olabilir:
- d ≡ 0 (mod 3) → r = 5
- d ≡ 1 (mod 3) → r = 8
- d ≡ 2 (mod 3) → r = 2
Sonuç olarak, 9’a bölme işleminden kalabilecek değerler 2, 5 veya 8’dir.
2. 38. Soru Çözümü
Soru: Bir bölme işleminde bölüm 8, bölen 15 olduğuna göre bölünen sayı ve kalanın toplamı en az kaç olur?
Çözüm adımları:
- Bölünen sayın = \text{bölüm}\times \text{bölen} + \text{kalan} = 8\cdot 15 + r = 120 + r.
- Kalan en az 0 olabilir (0 ≤ r < 15).
- Toplamn + r = (120 + r) + r = 120 + 2r.
- r = 0 seçilirse, toplam en küçük değeri alır:120 + 2\cdot0 = 120.
Sonuç: En az 120.
Karşılaştırma Tablosu
| Soru No | Verilenler | Aranan | Formül | Sonuç |
|---|---|---|---|---|
| 37 | Bölüm = 12, Kalan = 5 | 9’a bölümden kalan | (12d+5)\bmod 9 = (3d+5)\bmod 9 | 2, 5 veya 8 |
| 38 | Bölüm = 8, Bölen = 15 | n + r en az | n+ r = 120 + 2r,\;r_{\min}=0 | 120 |
Özet Tablosu
| Soru | Sonuç |
|---|---|
| 37 | Kalan ∈ {2, 5, 8} |
| 38 | 120 |
SSS
- Bölme kalanı nasıl bulunur?
Kalan, bölünen sayının bölen sayıya bölümünden sonra geriye kalan kısmıdır ve “mod” işlemiyle hesaplanır. - Kalan neden bölen sayısından küçük olmalı?
Aksi halde o kalanı bir kez daha böler ve bölüm değeri artar; tanıma aykırı olur. - Bölüm ve kalan verildiğinde bölen nasıl bulunur?
Bölünen sayı bilinmiyorsa tek başına bulunamaz, fakat en küçük bölen değeri “kalan+1” kabul edilerek örnek hesaplama yapılabilir. - Bir bölünebilme sorusunda kalan belirsizse ne yapılır?
Kalanın alabileceği tüm değerler sıralanır veya ekstra koşula göre sınırlandırılır.
Başka bir bölüm–kalan problemi çözmek ister misin? @Muhittin_Firat