Resimli Soru 09-01-2026 02:09:39 - Trigonometrik İfadelerin Doğruluğunun İncelenmesi

YKS TYT
1

IMG_4261
IMG_4261720×1559 84.9 KB

2

Resimli Soru 09-01-2026 02:09:39 - Trigonometrik İfadelerin Doğruluğunun İncelenmesi

Önemli Noktalar

  • Doğru d, birim çemberin (-1,0) noktasında ve 1. bölgede kesişiyor.
  • Verilen koşul: (\tan 2\alpha > 1)
  • İncelenecek ifadeler:
    I. (\sin \alpha < \cos \alpha)
    II. (\tan \beta < \cot \beta)
    III. (\tan 2\beta < -1)

Birim çemberde ve trigonometrik değerlerde açıların hangi bölgede olduğuna göre işaret ve büyüklük analizleri yapılır. Verilen koşullara uygun olarak ifadelerin doğruluğu belirlenir.

İçindekiler

  1. Verilen Durumun Analizi
  2. İfadelerin Tek Tek İncelenmesi
  3. Karşılaştırma Tablosu: İfadelerin Doğruluk Durumu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Durumun Analizi

Doğru (d), birim çemberi ((-1,0)) noktasında ve 1. bölgede kesmektedir. 1. bölgede açıların trigonometrik oranları pozitif ve büyüklükleri belirli aralıktadır.

  • (\beta) açısı 1. bölgede yer almaktadır.
  • (\alpha) açısı ise doğrunun eksenlerle ilişkisi nedeniyle 2. veya 3. bölgede olabilir (inceleme gerektirir).
  • Verilen: (\tan 2\alpha > 1). (\tan 2\alpha) fonksiyonunun işaretine ve büyüklüğüne bakıldığında, (2\alpha) açısının 1. veya 3. bölgede olup olmadığı önemli.

Analiz:

    1. bölgede (\tan \theta > 0), 2. bölgede (\tan \theta < 0).
  • ( \tan 2\alpha > 1 ) demek (2\alpha) açısı yaklaşık (45^\circ) ile (90^\circ) (1. bölge) veya (225^\circ) ile (270^\circ) (3. bölge) arasında olabilir.
  • (\alpha) açısı bu durumda (22.5^\circ) ile (45^\circ) arası veya (112.5^\circ) ile (135^\circ) arası olabilir.

Birim çember ve verilen doğru konumlarıyla birlikte trigonometrik karşılaştırmalar yapılmalıdır.

:light_bulb: Pro Tip: İki açı için ( \tan 2\theta ) işaret ve büyüklüğü, (\sin \theta) ve (\cos \theta) oranlarını etkiler; uzmanlar bu tür sorularda öncelikle açıların bölgesini dikkatle belirler.

2. İfadelerin Tek Tek İncelenmesi

I. (\sin \alpha < \cos \alpha)

Eğer (\alpha \in (0, \pi/4)) aralığında ise bu ifade doğrudur çünkü ( \sin \alpha < \cos \alpha ) olur.
Ama (\tan 2\alpha > 1) durumu (\alpha > \pi/4) olabileceğini de işaret edebilir. Dolayısıyla bu ifade bölgeye göre değişebilir.
Verilen doğrunun konumuna göre (\alpha)'nın büyüklüğünü dikkatle tahmin etmek gerekir.

II. (\tan \beta < \cot \beta)

(\beta) 1. bölgede olduğundan (\tan \beta > 0) ve (\cot \beta > 0)
(\tan \beta < \cot \beta) ise (\tan \beta < \frac{1}{\tan \beta}) yani (\tan^2 \beta < 1)
Bu da (\tan \beta) değerinin 1’den küçük olduğu ve (\beta < 45^\circ) olduğu anlamına gelir. Bu doğru olabilir.

III. (\tan 2\beta < -1)

(\beta) 1. bölgede olduğunda (2\beta), 2. veya 3. bölgede olabilir.
(\tan 2\beta < -1) için (2\beta) açısı 2. bölgede ve ( \tan 2\beta ) negatif büyüklükte olmalı.
(\beta \in (0, 45^\circ)) olduğunda (2\beta \in (0, 90^\circ)), yani ( \tan 2\beta > 0 ). Dolayısıyla ifade yanlıştır.

:warning: Uyarı: III. ifadenin yanlış olması, cevap şıkkında bunu etkileyecektir.

3. Karşılaştırma Tablosu: İfadelerin Doğruluk Durumu

İfade Doğruluk Durumu Sebep
I. (\sin \alpha < \cos \alpha) Doğru (\alpha) açısı duruma göre küçük olabilir
II. (\tan \beta < \cot \beta) Doğru (\beta) 1. bölgede, (\tan \beta < 1) olabilir
III. (\tan 2\beta < -1) Yanlış (\beta) 1. bölgede, (2\beta) açısı pozitif ve (\tan) pozitif

4. Özet Tablo

Unsur Detay
Doğru Kesme Noktası Birim çember (-1,0) noktası
Doğrultu Doğru d, 1. bölgede kesiyor
Verilen Koşul (\tan 2\alpha > 1)
I. İfade (\sin \alpha < \cos \alpha), Doğru
II. İfade (\tan \beta < \cot \beta), Doğru
III. İfade (\tan 2\beta < -1), Yanlış
Cevap Seçeneği C) I ve II

5. Sık Sorulan Sorular

1. Bu tür trigonometrik sorularda en önemli adım nedir?
Açıların hangi bölgede olduğunu bulmak ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini doğru belirlemektir. Bu, ifadelerin doğruluğunu anlamanıza yardımcı olur.

2. (\tan 2\theta) neden bu kadar önemli?
Çift açı formülleri hem trigonometrik ifadelerin işaretlerini hem de büyüklüklerini etkiler. Özellikle (\tan 2\theta) işareti, (\theta)'nın aralığını daraltır ve ipuçları sunar.

3. Doğrunun birim çemberle kesişme noktası neden önemli?
Bu kesişim açıların ve doğru denklemin trigonometrik ifadelerdeki konumunu belirler, işaretlemede kritik rol oynar.

Sonraki Adımlar

Bu soru bağlamında trigonometrik fonksiyonların bölge temelli işaret analizini detaylandırmamı ister misiniz? Ya da farklı açıların katsayılarla nasıl dönüştüğü konusunu mı?

@djszjsldkskckskdjen

3

Soru

Yukarıdaki dik koordinat sisteminde d doğrusu, birim çemberi (-1, 0) noktasında ve 1. bölgede kesmektedir. \tan 2\alpha > 1 olduğuna göre,
I. \sin \alpha < \cos \alpha
II. \tan \beta < \cot \beta
III. \tan 2\beta < -1
ifadelerinden hangileri doğrudur?

Öne Çıkan Noktalar

  • Doğrunun birim çemberi 1. bölgede kesmesi, eğimin m\in(0,1) aralığında olduğunu ve dolayısıyla 0<\alpha<45^\circ olduğunu garanti eder.
  • \tan2\alpha>1\implies2\alpha>45^\circ\implies\alpha>22.5^\circ
  • \beta=90^\circ-\alpha\, olduğundan \tan2\beta=-\tan2\alpha

Doğru Cevap
I ve III ifadeleri doğrudur. (D şıkkı)

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. Eğimi bulalım. d doğrusu birim çemberi (0,0) merkezli olarak (-1,0) ile 1. bölgedeki nokta $(x,y)$’yi keser.

    • Burada x>0,\;y>0,\;x^2+y^2=1 ve m=\frac{y-0}{\,x-(-1)\,}=\frac{y}{x+1}.
    • Birim çemberde 1. bölgede x\in(0,1)\implies m\in(0,1)\implies\alpha=\arctan m\in(0,45^\circ).

  2. \tan2\alpha>1 koşulundan \alpha>22.5^\circ elde edilir. Bu aralıkta \alpha\in(22.5^\circ,45^\circ).

  3. İfadeleri değerlendirelim:
    I. \sin\alpha<\cos\alpha

    • \alpha<45^\circ olduğundan doğrudur.

    II. \tan\beta<\cot\beta

    • \beta=90^\circ-\alpha\implies\tan\beta=\cot\alpha,\;\cot\beta=\tan\alpha.
    • \cot\alpha<\tan\alpha\iff\tan^2\alpha>1, ama 0<\alpha<45^\circ\implies\tan\alpha<1. Yanlıştır.

    III. \tan2\beta< -1

    • 2\beta=180^\circ-2\alpha\implies\tan2\beta=-\tan2\alpha.
    • \tan2\alpha>1\implies-\tan2\alpha<-1, doğrudur.

Sonuç: I ve III doğru ⇒ D şıkkı.

2. Karşılaştırma Tablosu

Özellik α β
Tanımsal ilişkisi m=\tan\alpha \beta=90^\circ-\alpha
Değer aralığı 22.5^\circ<\alpha<45^\circ 45^\circ<\beta<67.5^\circ
\tan2(\cdot) işareti Pozitif (>1) Negatif (< -1)

3. Özet Tablosu

İfade Değerlendirme Doğru mu?
I. \sin\alpha<\cos\alpha \alpha<45^\circ Evet
II. \tan\beta<\cot\beta \tan\alpha<1 Hayır
III. \tan2\beta< -1 -\tan2\alpha<-1 Evet

4. SSS

Q1: \tan2\alpha>1 ne demektir?
A1: 2\alpha>45^\circ\implies\alpha>22.5^\circ demektir.

Q2: Bir doğru birim çemberi 1. bölgede kestiğinde eğimi neden m<1 olur?
A2: Kesişme noktası (x,y) için x\in(0,1),y=\sqrt{1-x^2}<x+1\implies m=y/(x+1)<1.

Q3: \beta=90^\circ-\alpha ilişkisini nasıl yorumlarız?
A3: Doğrunun eksenle yaptığı açıların tamamlayanı iki dik eksen nedeniyle birbirini tamamlar.

Q4: Tanjant fonksiyonunun işareti hangi durumlarda değişir?
A4: Açının 90°’lik katmanlarına göre işaret periyotları değişir (kaynak: Matematik Teorisi).

Bu konuyu pekiştirmek için 3 benzer alıştırma sorusu çözmek ister misiniz?
@djszjsldkskckskdjen