a + c/b = 3/2 ve b/c = 3/4 ifadesinden a/b kaçtır?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda, elimizde iki denklem bulunuyor:
- (a + c) / b = 3/2
- b / c = 3/4
Bizden istenen, a / b oranını bulmaktır. Bu soruyu adım adım ele alarak çözdüğümüzde, doğru cevabın 1/6 (yani şık D) olduğunu göreceğiz. Aşağıda kapsamlı bir anlatım bulabilirsiniz.
İçindekiler
- Genel Bakış ve Amacı
- Temel Denklemler
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Değerlerle Kontrol
- Tablo ile Özet
- Sonuç ve Özet
1. Genel Bakış ve Amacı
Bu problem, üç değişken (a, b, c) arasındaki oran ilişkilerini bulmaya yöneliktir. Elimizde iki orantı ve bir aranan oran var:
- (a+c) / b = 3/2
- b / c = 3/4
- Aranan: a / b = ?
Amaç, bu iki denklem aracılığıyla a/b değerine ulaşmaktır. Soruda verilen seçenekler arasından (A) 1/3, (B) 2/3, (C) 1/4, (D) 1/6, (E) 5/6 yer alıyor. Doğru şıkkı bulmak için cebirsel işlemleri sistematik bir şekilde uygulayacağız.
2. Temel Denklemler
Verilen denklemler:
- (a + c) / b = 3/2
- b / c = 3/4
Bu denklem sisteminde, genellikle bir değişkeni diğeri cinsinden yazarak işe başlarız. Burada ikinci denklem bize b ve c ilişkisini veriyor:
b / c = 3/4 => c = (4/3)*b
Böylece c’yi b cinsinden ifade ederek, ilk denklemde (a + c) / b = 3/2 kısmında yerini değiştirebiliriz.
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: c’yi b cinsinden ifade etme
(2) numaralı denklem:
b / c = 3/4
Buradan,
c = (4/3) * b
Adım 2: (a + c) ifadesini bulma
(1) numaralı denklem:
(a + c) / b = 3/2
Bu,
a + c = (3/2) * b
şeklinde yeniden yazılabilir.
Adım 3: a’yı tek başına ifade etme
Artık c’yi (4/3)*b olarak bildiğimize göre, a+c ifadesinde c yerine (4/3)*b koyabiliriz:
a + (4/3)*b = (3/2)*b
Dolayısıyla,
a = (3/2)*b - (4/3)*b
Adım 4: Ortak payda bularak çıkarma
(3/2) ifadesi, kesir şeklinde 3/2; (4/3) ise 4/3. Önce ortak payda 6 ile ikisini de uyumlu hâle getirelim:
3/2 = 9/6,
4/3 = 8/6.
O hâlde,
a = (9/6)*b - (8/6)*b = (1/6)*b.
Adım 5: a/b oranını bulma
a = (1/6)*b ise,
a / b = ( (1/6)*b ) / b = 1/6.
Dolayısıyla a/b = 1/6 sonucuna ulaşıyoruz. Soru şıkları arasında 1/6 seçeneği D şıkkına denk düşmektedir.
Bu nedenle doğru cevap: 1/6 (D).
4. Örnek Değerlerle Kontrol
Bazen sonuçtan emin olmak için rastgele bir b değeri atayarak, bulunan a ve c ile denklemleri test edebiliriz.
Örnek olarak b = 6 seçelim:
- c = (4/3)*b = (4/3)*6 = 8
- a = (1/6)*b = (1/6)*6 = 1
Şimdi bu değerler (a=1, b=6, c=8) ile denklemleri test edelim:
- (a + c)/b = (1 + 8)/6 = 9/6 = 3/2, bu 1. denkleme uyuyor.
- b/c = 6/8 = 3/4, bu da 2. denkleme uyuyor.
Son olarak a/b = 1/6 = 1/6, ki bu doğrudur. Bu kontrol, bulduğumuz sonucun geçerliliğini doğrular.
5. Tablo ile Özet
Aşağıdaki tabloda, her adımda yapılan işlemler özetlenmiştir:
| Adım | İşlem | Elde Edilen Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklem | (a + c) / b = 3/2 | a + c = (3/2) * b |
| 2. Denklem | b / c = 3/4 | c = (4/3) * b |
| 3. Değiştirme | a + (4/3)*b = (3/2)*b | a = (3/2)*b - (4/3)*b |
| 4. Ortak Payda | (3/2)=9/6, (4/3)=8/6 | a = (9/6 - 8/6)*b = (1/6)*b |
| 5. Sonuç | a / b = (1/6)*b / b | 1/6 |
Bu tablo, denklem çözüm sürecinin bütün ana aşamalarını özetlemektedir.
6. Sonuç ve Özet
Elimizde iki temel orantı vardı:
- (a + c)/b = 3/2,
- b/c = 3/4.
Bu orantılardan yola çıkarak, a/b’nin 1/6 olduğunu bulduk. Soru seçenekleri incelendiğinde, 1/6 cevabı D şıkkı ile eşleşiyor. Böylece doğru cevap D şıkkı (1/6) olarak kesinleşmiş oluyor.
Özet
- Önce, b/c = 3/4 ifadesinden *c = (4/3)b bulduk.
- Sonra, (a + c)/b = 3/2’den *a + c = (3/2)b eşitliğini yazdık.
- c yerine (4/3)*b koyarak a’yı çözdük: a = (3/2)*b - (4/3)*b = (1/6)*b.
- Sonuç olarak a/b = 1/6.
Bu tür orantı soruları, genellikle değişkenleri tek tek birbirleri cinsinden ifade ederek kolaylıkla çözülebilir. Elde edilen sonucun tutarlılığını basit bir sayısal örnekle kontrol etmek her zaman faydalıdır.
Cevap: 1/6 (D)