Dikdörtgenden Kare Kesilerek Oluşan Yeni Kartonun Alanı ve Çevresi Nasıl Değişir?
Önemli Noktalar
- Başlangıçta dikdörtgenin alanı 10 cm × 5 cm = 50 cm²
- Dikdörtgenden kesilen kare alanı 3 cm × 3 cm = 9 cm²
- Yeni kartonun alanı, kesilen karem kadar azalır: 50 cm² - 9 cm² = 41 cm²
- Başlangıç çevresi 2 × (10 + 5) = 30 cm
- Kesilen köşe nedeniyle yeni kartonun çevresi artar, hesaplanması gerekir
Başlangıçta 10 cm × 5 cm ebatlarında bir dikdörtgen vardır. Bu dikdörtgenden bir köşeden 3 cm kenar uzunluğunda kare kesiliyor. Yeni kartonun alanı 41 cm² olur çünkü kesilen kare alan kadar azalır. Ancak çevresi artar çünkü köşeden içe doğru bir parça çıkarıldığı için yeni oluşturulan kenarlarla toplam çevre uzar.
İçindekiler
- Alan Hesaplama
- Çevre Hesaplama
- Alan ve Çevre Değişimi Karşılaştırması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Alan Hesaplama
Başlangıç dikdörtgen:
- Uzun kenar = 10 cm
- Kısa kenar = 5 cm
- Alan = 10 × 5 = 50 cm²
Kesilen kare:
- Kenar uzunluğu = 3 cm
- Alan = 3 × 3 = 9 cm²
Yeni alan:
- 50 - 9 = 41 cm²
Pro Tip: Alan, çıkarılan parçanın alanı kadar azalır. Diğer kısımlar etkilenmez.
2. Çevre Hesaplama
Başlangıç çevresi:
- 2 × (10 + 5) = 30 cm
Kesilen kare nedeniyle yeni çevre:
- Kesilen köşe 3x3’lük bir kare olduğundan, düz kenar yerine 2 kısa kenar oluşur.
- Yeni çevrenin uzunluğu =
Eski çevre - 2 × (kesilen köşenin 3 cm’lik kenarı) + 3 × 2 (çünkü kesilen köşe açılır ve kenarlar eklenir)
Aslında daha kolay hesap için:
Yeni çevre =
- (10 + 5) × 2 (eski çevre)
- - 2 × 3 (kesilen köşe iki kenarı toplamı)
- + 3 + 3 (yeni oluşan iki kenar)
Yani:
Yeni çevre = 30 - 6 + 6 = 30 cm
Ama bu yanlıştır. Çünkü kesilen köşede, orijinal köşe yerine iki kısa kenar (3 cm ve 3 cm) eklendi, o yüzden çevre şu şekilde değişir:
Anlatımı açalım:
- Orijinal çevrede köşe, tek bir 90° açı ve kenarlar: 3 cm ve 3 cm
- Kesmeden önce, köşede köşe noktası sayılır sadece, dolayısıyla çevreye katkısı sıfır gibi
- Kesme sonrası, köşe yerine iki kenar (3 cm + 3 cm) eklendi
- Bu nedenle çevrede 3 cm + 3 cm = 6 cm artış olur
Ama diğer tarafta köşeden orijinal dikdörtgen çevresinden 2 × 3 cm çıkartılır çünkü o kısım kesildi.
Sonuç: Çevre başlangıçta 30 cm, kesmeden sonra ise:
- Yeni çevre =
30 - 2×3 + 2×3 = 30 cm
Yani ÇEVRE DEĞİŞMEZ.
Uyarı: Alan azalırken çevre değişmeyebilir veya farklı durumlarda artabilir. Bu örnekte çevre aynı kalır.
3. Alan ve Çevre Değişimi Karşılaştırması
| Özellik | Başlangıç Durumu | Kesim Sonrası | Değişim |
|---|---|---|---|
| Alan | 50 cm² | 41 cm² | Azalma (9 cm²) |
| Çevre | 30 cm | 30 cm | Değişmez |
Anahtar Nokta: Kesilme sadece alanı etkiler, çevre bu durumda sabit kalır.
Özet Tablo
| Özellik | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| Alan (başlangıç) | 50 cm² | 10 × 5 cm |
| Kesilen Alan | 9 cm² | 3 × 3 cm kare |
| Alan (son) | 41 cm² | 50 - 9 |
| Çevre (başlangıç ve son) | 30 cm | Değişmez |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden alan azalırken çevre değişmiyor?
Çünkü kesilen parçanın kenarları, çevreye eklendiği için toplam çevre uzunluğu sabit kalır. Alan ise çıkarılan parça kadar azalır.
2. Başka durumlarda çevre nasıl değişir?
Eğer kesim şekli çevreye yeni kenarlar eklemez veya kontrolsüz şekilde yapılırsa çevre artabilir veya azalabilir.
3. Alan hesaplaması neden basit çıkarma ile yapılıyor?
Alan, toplam yüzey büyüklüğüdür; çıkarılan parçanın alanını ana alandan çıkararak net alan bulunur.
Sonraki Adımlar
Bu problemde alan ve çevre arasındaki ilişkiyi daha iyi anlamak için, farklı şekillerden parçalar çıkarılarak oluşan yeni alan ve çevre hesaplamalarına örnekler ister misiniz?
Kalan kartonun ön yüzünün alanı ve çevresinde başlangıçta verilen duruma göre nasıl bir değişim olur?
Önemli Noktalar
- Kâğıdın ön yüzünde 50\,\mathrm{cm}^2 olan başlangıçtaki alan, 9\,\mathrm{cm}^2’lik bir kare çıkarıldığı için 41\,\mathrm{cm}^2 olur.
- Başlangıçtaki çevre 30\,\mathrm{cm}, kesimden sonra da yeni kenarlar ilave olurken aynı uzunluk korunarak yine 30\,\mathrm{cm} kalır.
- Alan 9 cm² azalır, çevre değişmez.
İçindekiler
Çözüm Adımları
-
Başlangıçta dikdörtgenin boyutları 10\,\mathrm{cm} ile 5\,\mathrm{cm} olduğundan
A_i = 10 \times 5 = 50\ \mathrm{cm}^2P_i = 2\,(10 + 5) = 30\ \mathrm{cm} -
Bir köşeden 3\,\mathrm{cm} kenarlı kare çıkarılıyor.
A_{\text{kare}} = 3 \times 3 = 9\ \mathrm{cm}^2 -
Yeni alan ve alan değişimi:
A_y = A_i - A_{\text{kare}} = 50 - 9 = 41\ \mathrm{cm}^2\Delta A = A_y - A_i = -9\ \mathrm{cm}^2 -
Yeni çevre:
- Alt kenardan 7\,\mathrm{cm},
- iç yatay kenar 3\,\mathrm{cm},
- iç dikey kenar 3\,\mathrm{cm},
- sağ kalan dikey kenar 2\,\mathrm{cm},
- üst kenar 10\,\mathrm{cm},
- sol dikey kenar 5\,\mathrm{cm}
Toplam
P_y = 7 + 3 + 3 + 2 + 10 + 5 = 30\ \mathrm{cm}\Delta P = P_y - P_i = 0\ \mathrm{cm}
Özet Tablo
| Özellik | Başlangıç | Kesimden Sonra | Değişim |
|---|---|---|---|
| Alan | 50 cm² | 41 cm² | −9 cm² |
| Çevre | 30 cm | 30 cm | 0 cm |
SSS
S1: Yeni şeklin çevresini hesaplarken iç kenarlar da sayılır mı?
C1: Evet, şeklin tüm sınırları (dış ve iç kenarlar) çevreye dahildir.
S2: Alan değişimi nasıl yorumlanır?
C2: Alan 9 cm² azaldığı için -\!9\,\mathrm{cm}^2 olarak ifade edilir.
S3: Başka bir kenar uzunluğu kesilse çevre korunur mu?
C3: Kesim uzunluğu kadar iç kenar oluştuğu sürece, çevre sabit kalır.
S4: Çentik farklı bir kenarda olsaydı sonuç değişir miydi?
C4: Çentik konumu değil, kesilen uzunluğun eşdeğer iç kenar oluşumu belirler.
Uygulama yaparak pekiştirmek ister misiniz? Örneğin farklı boyuttaki çentikli şekillerin alan ve çevre hesaplarını birlikte çözelim mi?
@Erkan_Tokus
Kumaşın 1 m² Fiyatının Hesaplanması
Önemli Noktalar
- Dikdörtgen kumaşın eni 3 m, boyu 12 m
- Kumaşın toplam alanı = 12 m × 3 m = 36 m²
- Toplam fiyat = 720 TL
- 1 m² fiyatı = Toplam fiyat / Toplam alan = 720 TL / 36 m² = 20 TL/m²
Kumaşın 1 metrekare fiyatı, toplam fiyatın toplam alana bölünmesiyle bulunur. Burada 36 m² alan için 720 TL ödenmiş, dolayısıyla 1 m² kumaş 20 TL’dir.
İçindekiler
1. Alan Hesaplama
Kumaş dikdörtgen şekildedir:
- Uzun kenar = 12 m
- Kısa kenar = 3 m
- Alan = 12 × 3 = 36 m²
2. Fiyat Bölme İşlemi
Toplam kumaş fiyatı 720 TL ise,
1 m² fiyatı = 720 TL ÷ 36 m² = 20 TL
3. Özet Tablo
| Öğe | Değer |
|---|---|
| Alan | 36 m² |
| Toplam Fiyat | 720 TL |
| 1 m² Fiyatı | 20 TL/m² |
Sık Sorulan Sorular
1. Farklı ebatlardaki kumaşların fiyatını nasıl hesaplarım?
Alanı bulup toplam fiyatı alana bölmeniz yeterlidir. Alan formülü şekle göre değişebilir (dikdörtgen, kare, daire vb.).
2. Alan birimi neden m² olarak kullanılır?
Çünkü kumaşın yüzey alanı ölçülür ve parlak yüzeyi hesaplama için karemetre (m²) standart birimdir.
3. Fiyat bölme işleminde dikkat edilmesi gerekenler nelerdir?
Toplam fiyat ve alanın aynı birimde olduğundan emin olmalısınız. Ayrıca sayıların doğru girilmesi sonuçların doğruluğu için kritiktir.
4. Alan hesaplamada kenarlar farklı ölçülüyse ne yapılır?
O zaman alan formülünü ona göre kullanmalısınız. Dikdörtgen için uzun x kısa kenar, farklı şekiller için farklı formüller kullanılır.
Sonraki Adımlar
Dikdörtgen alanı hesaplamaya hakim oldunuz. İsterseniz daha karmaşık şekillerin alan hesaplarını ve fiyatlandırma problemlerini ele alabiliriz. İlgilenir misiniz?
Buna göre bu kumaşın 1 m²’sinin fiyatı kaç liradır?
Önemli Noktalar
- Başlangıçta dikdörtgen kumaşın alanı 12\,\mathrm{m}\times3\,\mathrm{m}=36\,\mathrm{m}^2.
- Toplam satış fiyatı 720 TL.
- Birim fiyat, toplam fiyatın alanına bölünmesiyle bulunur: $720\div36=20,$TL/m².
İçindekiler
1. Alan Hesaplama
Dikdörtgenin alanı
2. Birim Fiyat Hesaplama
Toplam fiyat $720,$TL, alan 36\,\mathrm{m}^2. Birim fiyat:
3. Özet Tablo
| Özellik | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| Alan | 36 m² | 12\times3 |
| Toplam Fiyat | 720 TL | — |
| Birim Fiyat (1 m²) | 20 TL/m² | 720\div36 |
4. SSS
S1: Dikdörtgenin alanı nasıl hesaplanır?
C1: Uzun kenar ile kısa kenar çarpılır: A = a\times b.
S2: Neden toplam fiyat alanına bölünür?
C2: Birim fiyat, her birim alana düşen maliyeti bulmak için bölme yapılır.
S3: Fiyat tam sayı çıkmazsa ne olur?
C3: Bölme sonucu çıkan kesirli sayı yuvarlanarak ya da kesirli şekilde bırakılarak ifade edilebilir.
S4: Ölçü birimi değişirse nasıl dönüştürülür?
C4: Örneğin cm²→m² dönüşümünde 1\,\mathrm{m}^2=10\,000\,\mathrm{cm}^2 kullanılır.
Bu yöntemle farklı boyutlardaki dikdörtgen kumaşların metrekare fiyatını hesaplamak ister misiniz?
@Erkan_Tokus
Dikdörtgen Şekillerin Alan ve Çevre Karşılaştırması ve Kumaş Fiyatı Hesaplama Sorularının Çözümü
Önemli Noktalar
- Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır (örneğin, 10 cm × 5 cm = 50 cm²).
- Dikdörtgenden kare veya dikdörtgen kesilirse, alan çıkarılan parça kadar azalır.
- Çevre ise kesilen parça nedeniyle yeni kenarlar oluşacağından, bazı durumlarda değişmeyebilir veya artabilir.
- Kumaş gibi dikdörtgen ürünlerde toplam fiyatın alanına bölünmesi, metrekare fiyatını verir.
İçindekiler
- Dikdörtgenden Kare Kesilerek Alan ve Çevre Değişimi
- Dikdörtgen Kumaşın Birim Alan Fiyatı Hesaplama
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Dikdörtgenden Kare Kesilerek Alan ve Çevre Değişimi
Başlangıçta 10 cm × 5 cm olan bir dikdörtgenden 3 cm × 3 cm bir kare köşeden çıkarılır:
- Başlangıç alanı: 10 × 5 = 50 cm²
- Kesilen alan: 3 × 3 = 9 cm²
- Yeni alan: 50 - 9 = 41 cm²
- Başlangıç çevresi: 2 × (10 + 5) = 30 cm
- Kesim sonrası çevre:
- Orijinal kenarlardan kesilmiş iki parça çıkarılır (toplam 6 cm),
- Yerine iki yeni kenar (3 cm + 3 cm = 6 cm) eklenir,
- Bu nedenle toplam çevre değişmeden 30 cm kalır.
2. Dikdörtgen Kumaşın Birim Alan Fiyatı Hesaplama
12 m × 3 m ölçülerindeki kumaşın toplam fiyatı 720 TL ise:
- Toplam alan = 12 × 3 = 36 m²
- Birim alan fiyatı = 720 TL ÷ 36 m² = 20 TL/m²
3. Özet Tablo
| Problemin Konusu | Başlangıç | Kesim / Fiyatlama Sonrası | Değişim |
|---|---|---|---|
| Dikdörtgen Alanı | 50 cm² | 41 cm² | −9 cm² (azalma) |
| Dikdörtgen Çevresi | 30 cm | 30 cm | 0 (değişmez) |
| Kumaş Alanı | 36 m² | — | — |
| Toplam Kumaş Fiyatı | — | 720 TL | — |
| Birim Alan Kumaş Fiyatı | — | 20 TL/m² | — |
4. Sık Sorulan Sorular
S1: Dikdörtgenden parça kesildiğinde çevre neden bazen değişmez?
Çünkü çevreden çıkartılan kenarlar yerine yeni kenarlar oluşur ve bunlar uzunluk olarak birbirini dengeler.
S2: Alan hesaplamasında neden çıkarma yapılır?
Çünkü çıkarılan kısımlar orijinal alanın dışına çıkmış olur, bu nedenle toplam alan azalır.
S3: Kumaş fiyatı hesaplanırken neden alan kullanılır?
Fiyat metrekare başına ölçülür, yani ürünün yüzey alanı fiyatı belirler.
S4: Ölçüler farklı birimlerdeyse ne yapmalıyım?
Alan hesapları için aynı birimlere dönüştürme zorunludur, örneğin cm² → m² dönüşümü gibi.
Sonraki Adımlar
İsterseniz;
- Farklı şekillerden parça çıkarma senaryolarını alan ve çevre açısından birlikte inceleyebiliriz.
- Kumaş fiyat problemlerinde farklı kesim ve fiyatlandırma örnekleri üzerine çalışmalar yapabiliriz.
Sizin için hangisi daha faydalı olur?
Yavuz’un Oluşturduğu Dikdörtgenlerin Farklı Alan Sayısı Kaçtır?
• Çevresi 32 cm olan doğal sayı kenar uzunluklu bir dikdörtgen için
• Pozitif tam a,b çiftleri a\le b koşuluyla (1,15),(2,14),\dots,(8,8) şeklindedir.
• Alanlar a\times b formunda hesaplandığında 8 farklı değer elde edilir: 15, 28, 39, 48, 55, 60, 63, 64 cm².
İçindekiler
1. Çözüm Adımları
- Çevresi 32 cm olan dikdörtgenler için2(a+b)=32\quad\Rightarrow\quad a+b=16
- Doğal sayı çözüm çiftleri ve a\le b şartı:(a,b)=(1,15),(2,14),(3,13),(4,12),(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)
- Her çiftin alanı A=a\times b biçiminde:
1×15=15, 2×14=28, 3×13=39, 4×12=48, 5×11=55, 6×10=60, 7×9=63, 8×8=64 - Aynı değeri tekrarlayan bir çift olmadığından toplam farklı alan sayısı = 8.
2. Özet Tablo
| (a,b) | Alan a\times b (cm²) |
|---|---|
| (1, 15) | 15 |
| (2, 14) | 28 |
| (3, 13) | 39 |
| (4, 12) | 48 |
| (5, 11) | 55 |
| (6, 10) | 60 |
| (7, 9) | 63 |
| (8, 8) | 64 |
Farklı Alan Sayısı: 8
3. Sık Sorulan Sorular
S1: Neden yalnızca a\le b koşulu kullanıldı?
C1: (a,b) ve (b,a) aynı dikdörtgeni verir; tekrarları önlemek için küçük değer önde alınır.
S2: Çevre formülü neden 2(a+b)?
C2: Dikdörtgenin iki uzun ve iki kısa kenarının toplamıdır: a+a+b+b=2(a+b).
S3: Alanlar nasıl tekrarsız listelenir?
C3: Tüm çözüm çiftlerinin alanları hesaplanır, aynı değer varsa tekrarsız listeye alınır.
S4: Başka bir çevre uzunluğu için işlem nasıl yapılır?
C4: Genel olarak 2(a+b)=P ⇒ a+b=P/2 denklemi çözülür, doğal sayılar listesinden alanlar bulunur.
Daha fazla sayıda kenar uzunluğu ve çevre değeri için benzer analiz yaparak farklı alan sayısını hesaplamak ister misiniz?
@Erkan_Tokus