Madeni Paralar Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Her madeni paranın ağırlığı 6 gramdan fazla ve tüm paralar eşit ağırlıkta
- Başlangıçta toplam ağırlık 198 gram
- Bazı madeni paralar alındığında ağırlık 144 gram
- Soruda alınan madeni paraların en fazla kaç Türk Lirası olduğu isteniyor
Her madeni paranın ağırlığını x gram ve madeni para sayısını n olarak alalım.
Çözüm Adımları
-
Toplam madeni para sayısı bulunur:
Toplam ağırlık:
[
n \times x = 198
] -
Alınan madeni paralar çıkarıldığında kalan ağırlık:
Eğer alınan madeni para sayısı (m) ise geride kalan madeni para sayısı (n - m) olur.
Kalan ağırlık:
[
(n - m) \times x = 144
] -
Bu iki denklemi kullanarak (m) bulunur:
[
n x = 198 \quad ve \quad (n - m) x = 144
]İkinci denklemi birinci denklemden çıkaralım:
[
n x - (n - m) x = 198 - 144
]
[
m x = 54
] -
(x) ve (n) değerlerini bulmak için, (x)'in 6’dan büyük tam sayı olduğu dikkate alınır.
198 gram toplam ağırlık olduğuna göre ve madeni paralar eşittir, (x) ağırlığını bulalım:
(x) 6’dan büyük ve 198 sayısını tam bölen bir sayı olmalı.
198’in bölenleri: 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198 (6’dan büyük olanlar)(x = 9) gram seçelim (en küçük uygun değer).
Buna göre madeni para sayısı:
[
n = \frac{198}{9} = 22
] -
Alınan madeni para sayısı:
[
m = \frac{54}{9} = 6
] -
Son soruya göre, alınan madeni paraların toplam değeri en fazla kaç TL olabilir?
Toplam madeni para sayısı 22, her biri 1 TL. Alınanların en fazla değeri alınacağı için, en fazla 6 TL olabilir.
Sonuç:
Doğru cevap B) 6
Özet Tablo
| Değişken | Açıklama | Değer |
|---|---|---|
| (x) | Bir madeni paranın ağırlığı | 9 gram |
| (n) | Toplam madeni para sayısı | 22 adet |
| (m) | Alınan madeni para sayısı | 6 adet |
| Değer | Alınan madeni paraların toplam değeri | 6 TL |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden madeni paraların ağırlığı tam sayı seçildi?
Ağırlik tam sayı olması varsayılarak bölünebilirliği daha kolay ve gerçekçi olur. Ayrıca soruda tam ağırlık kesin verilmediği için en mantıklı çözüme ulaşmak amaçlandı.
2. Eğer madeni para ağırlığı daha büyük bir sayı olsaydı ne olurdu?
Ağırlık arttıkça madeni para sayısı azalır, ancak alınan madeni paraların sayısı da azalacağından toplam değer daha da düşer.
3. Bu problemlerde nasıl tamsayı olan ağırlık seçilir?
Toplam ağırlık ve ağırlık özelliği bir arada değerlendirilerek eşit ve uygun bölen sayılar aranır.
Sonraki Adımlar
Daha karmaşık madeni para problemleri çözmek ister misiniz ya da ağırlığın kesirli olabileceği durumlarda nasıl çözüm yapılır, ister misiniz?
Her birinin ağırlığı 6 gramdan fazla ve birbirine eşit olan madeni 1 TL’lerin toplam ağırlığı 198 gramdır. Madeni paralardan bir kısmı alınıp tartıldığında ağırlık 144 gram olmaktadır. Buna göre sonradan alınan madeni paraların toplam değeri en fazla kaç Türk Lirası’dır?
• Toplam 1 TL madeni paraların ağırlığı 198 g.
• Tartımdaki ağırlık farkı: 198 g – 144 g = 54 g (alınan paraların ağırlığı).
• Paranın ağırlığı w>6 olup, w\mid198 ve w\mid54 koşulunu sağlamalı → ortak bölenler 1,2,3,6,9,18; w>6 için 9 ve 18.
• Maksimum adet için en küçük w=9 seçilir, alınan paralar: 54/9=6 adet → 6 TL.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Madeni paranın ağırlığını w gram kabul edelim.
- Toplam N adet paranın ağırlığı:
$$N\cdot w = 198 \quad\Rightarrow\quad N=\frac{198}{w}\in\mathbb{Z}.$$ - Tartımdaki kalan ağırlık 144 g ise, alınan paraların ağırlığı
$$198-144=54\text{ g}=;M\cdot w\quad\Rightarrow\quad M=\frac{54}{w}\in\mathbb{Z}.$$ - w>6 ve hem 198’in hem 54’ün böleni olması için ortak bölenler: 1,2,3,6,9,18. w>6 için w=9 veya 18.
- Alınan paralar adeti M=54/w formülüne göre:
- $w=9,$g → M=6
- $w=18,$g → M=3
- Toplam değeri maksimize etmek için $M$’nin en büyük olduğu w=9 seçilir. Böylece değer $6,$TL.
Karşılaştırma Tablosu
| Paranın ağırlığı w (g) | Alınan adet M=54/w | Toplam değer (TL) |
|---|---|---|
| 9 | 6 | 6 |
| 18 | 3 | 3 |
Özet Tablosu
| Öğeler | Değer |
|---|---|
| Toplam ağırlık | 198 g |
| Alınan paraların ağırlığı | 54 g |
| Paranın ağırlığı w | 9 g |
| Alınan madeni para sayısı | 6 adet |
| Toplam değer | 6 TL |
SSS
- Paranın ağırlığı neden 9 g seçildi?
- Çünkü w>6 ve w\mid198, w\mid54 koşullarını sağlayan en küçük ortak bölen 9’dur.
- w=6 g olamaz mı?
- 6, w>6 şartını ihlal ettiği için kabul edilemez.
- Ortak bölenler nasıl bulunur?
- \gcd(198,54)=18; 18’in bölenleri 1,2,3,6,9,18’dir.
- Farklı ağırlık ve toplamlar için nasıl genelleştirilir?
- Aynı yöntemi uygulayarak verilen ağırlık farkına ve toplam ağırlığa bölünebilen w>6 değerleri bulunur.
Başka bir ağırlık-fark problemine benzer üç alıştırma sorusu ister misiniz? @Emir_Yusuf_Alkan