42. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarını bulup, asal çarpanlarını belirleyiniz.
a) 24
- Çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Asal çarpanlarına ayırma:
24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 - Asal çarpanları (farklı): 2, 3
b) 50
- Çarpanları: 1, 2, 5, 10, 25, 50
- Asal çarpanlarına ayırma:
50 = 2 \times 5 \times 5 - Asal çarpanları (farklı): 2, 5
c) 64
- Çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
- Asal çarpanlarına ayırma:
64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 - Asal çarpanları (farklı): 2
d) 110
- Çarpanları: 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110
- Asal çarpanlarına ayırma:
110 = 2 \times 5 \times 11 - Asal çarpanları (farklı): 2, 5, 11
43. Aşağıda verilen sayıların asal çarpanlarını ve asal çarpanlarının çarpımını üslü ifadelerle gösteriniz.
a) 36
- Asal çarpanlar (tekrarlı): 2, 2, 3, 3
- Üslü gösterim: 36 = 2^2 \cdot 3^2
b) 45
- Asal çarpanlar (tekrarlı): 3, 3, 5
- Üslü gösterim: 45 = 3^2 \cdot 5
c) 84
- Asal çarpanlar (tekrarlı): 2, 2, 3, 7
- Üslü gösterim: 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7
Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını belirleme ve üslü ifadelerle gösterme çalışması
Cevap:
İçindekiler
- Genel Bakış
- Soru 42: Tüm Çarpanların ve Asal Çarpanların Belirlenmesi
- Soru 43: Asal Çarpanların Üslü İfade Şeklinde Yazılması
- Özet Tablolar
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Genel Bakış
Bu çalışma, iki farklı sorunun çözüm adımlarını içermektedir. Birinci soru (Soru 42) bizden verilen sayıların tüm çarpanlarını (bölünebildiği bütün tam sayılar) ve asal çarpanlarını çıkarmamızı ister. İkinci soru (Soru 43) ise verilen sayıların yalnızca asal çarpanlarını, üstel biçimde yazmamızı talep etmektedir.
2. Soru 42: Tüm Çarpanların ve Asal Çarpanların Belirlenmesi
Soru 42’de aşağıdaki dört sayı için (24, 50, 64 ve 110) hem sayıların tüm çarpanları (1 dahil sayı dahil) hem de bu sayıların asal çarpanları istenmektedir.
2.1 a) 24
-
Tüm Çarpanlar:
- 24’e tam bölünen sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
-
Asal Çarpanlar:
- 24’ün asal çarpanları 2 ve 3’tür.
- 24’ü asal çarpanlarına ayırırsak:
24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1
2.2 b) 50
-
Tüm Çarpanlar:
- 50’ye tam bölünen sayılar: 1, 2, 5, 10, 25, 50
-
Asal Çarpanlar:
- 50’yi oluşturan asal sayılar 2 ve 5’tir.
- Asal çarpanlarına ayrılmış hâli:
50 = 2 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 5^2
2.3 c) 64
-
Tüm Çarpanlar:
- 64’e tam bölünen sayılar: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
-
Asal Çarpanlar:
- 64’ün tek asal çarpanı 2’dir.
- 64’ün asal çarpanları üslü biçimde:
64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6
2.4 d) 110
-
Tüm Çarpanlar:
- 110’a tam bölünen sayılar: 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110
-
Asal Çarpanlar:
- 110’u oluşturan asal sayılar 2, 5 ve 11’dir.
- Asal çarpanları üslü biçimde:
110 = 2 \times 5 \times 11
Burada her asal sadece birer kez (1’inci kuvvet) yer aldığı için:
2^1 \times 5^1 \times 11^1
3. Soru 43: Asal Çarpanların Üslü İfade Şeklinde Yazılması
Soru 43’te bizden sadece asal çarpanları ve bu çarpanların üslü ifadeler hâlini istemektedir. İlgili sayılar: 36, 45 ve 84.
3.1 a) 36
-
Asal Çarpanlara Ayırma:
- 36’nın asal çarpanları: 2 ve 3
- Detaylı açılım:
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2
-
Üslü Gösterim:
2^2 \times 3^2
3.2 b) 45
-
Asal Çarpanlara Ayırma:
- 45’in asal çarpanları: 3 ve 5
- Detay açılım:
45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^1
-
Üslü Gösterim:
3^2 \times 5^1
3.3 c) 84
-
Asal Çarpanlara Ayırma:
- 84’ün asal çarpanları: 2, 3 ve 7
- Açılım:
84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1
-
Üslü Gösterim:
2^2 \times 3^1 \times 7^1
4. Özet Tablolar
4.1 Soru 42 (Tüm Çarpanlar ve Asal Çarpanlar)
| Sayı | Tüm Çarpanları | Asal Çarpanları | Üslü İfade |
|---|---|---|---|
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 2, 3 | 24 = 2^3 \times 3^1 |
| 50 | 1, 2, 5, 10, 25, 50 | 2, 5 | 50 = 2^1 \times 5^2 |
| 64 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 | 2 | 64 = 2^6 |
| 110 | 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 | 2, 5, 11 | 110 = 2^1 \times 5^1 \times 11^1 |
4.2 Soru 43 (Asal Çarpanlar ve Üslü Gösterim)
| Sayı | Asal Çarpanları | Üslü İfade |
|---|---|---|
| 36 | 2, 3 | 36 = 2^2 \times 3^2 |
| 45 | 3, 5 | 45 = 3^2 \times 5^1 |
| 84 | 2, 3, 7 | 84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1 |
5. Sonuç ve Kısa Özet
- Soru 42 bizden hem tüm çarpanları hem de asal çarpanları talep etmiştir. Böylece 24, 50, 64 ve 110’un tüm bölünebildiği sayıları sıraladık ve en sonda her birini asal çarpanlarına ayırarak basit üslü ifadelerle gösterdik.
- Soru 43 ise 36, 45 ve 84 için sadece asal çarpanları ve onların üslü ifadeler hâlini istedi. Bu sayede her sayıyı temel iki veya üç asal sayıya bölerek net olarak üslü gösterim elde etmiş olduk.
Tüm bu işlemler, ileride daha büyük veya daha karmaşık sayıları faktörlere ayırmada temel teşkil eder. Asal çarpanların bulunması, bölme algoritması veya ağaç (şema) yöntemi gibi farklı metotlarla yapılabilir; yeter ki her adımda doğru bölme işlemi ve kontrol yapılmış olsun.