Sorunuz: 1 Ocak 2025 tarihindeki projenin bütçesi kaç lira olur?
Önemli Noktalar
- Başlangıç bütçesi: 216.000 TL (2022 yılı)
- Yıllık artış oranı: Her yıl bir önceki yıla göre 1/6 oranında artış
- Proje başlangıç yılı: 2022, hesaplama yapılacak yıl: 2025, 1 Ocak
- Artış bileşik olarak her yıl uygulanır
Bir mühendislik firmasının 2022 yılında ayırdığı bütçe 216.000 TL’dir ve 2023’ten 2025’e kadar her yıl bütçe, bir önceki yıla göre 1/6 oranında artmaktadır. 2025 bütçesini hesaplamak için bileşik artış formülünü kullanırız:
Detaylı hesaplama:
Buna göre:
Seçeneklerde 70³ = 343.000 civarında olduğu için doğru cevap D) 70³’tür.
İçindekiler
- Bileşik Artış Formülü ve Uygulaması
- Sayısal Hesaplama Detayları
- Karşılaştırma Tablosu: Bileşik ve Basit Artış
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Bileşik Artış Formülü ve Uygulaması
Bileşik artış, bir miktarın belirli bir oranda artarak devam ettiği durumlarda kullanılan temel matematiksel yöntemdir. Formül:
- FV: Gelecekteki değer (burada 2025 bütçesi)
- PV: Bugünkü değer (2022 bütçesi = 216.000 TL)
- r: Yıllık artış oranı (1/6 = 0,1667)
- n: Yıl sayısı (2025-2022 = 3)
Bu proje için:
2. Sayısal Hesaplama Detayları
Adım adım:
- \frac{7}{6} oranını 3 defa kendisiyle çarp:\left(\frac{7}{6}\right)^3 = \frac{7^3}{6^3} = \frac{343}{216} \approx 1,59
- Başlangıç bütçesi ile çarp:216.000 \times 1,59 = 343.440 \text{ TL}
3. Karşılaştırma Tablosu: Bileşik ve Basit Artış
| Özellik | Bileşik Artış | Basit Artış |
|---|---|---|
| Artışın hesaplanma şekli | Her yıl önceki toplam üzerine artış eklenir | Yıllık artış sabit, toplamda toplar |
| Formül | PV \times (1+r)^n | PV \times (1 + r \times n) |
| Bu örnekte 3 yıl sonrası değer | 343.440 TL | 324.000 TL (216000 × (1 + 3 × 1/6)) |
| Gerçekçilik | Daha doğru, artışlar üst üste birikir | Yetersiz, büyük zamanlarda doğruluk kaybı |
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Başlangıç bütçesi | 216.000 TL (2022) |
| Yıllık artış oranı | %16,67 (1/6) |
| Yıl sayısı | 3 (2023, 2024, 2025) |
| Kullanılan formül | Bileşik artış 216.000 \times (7/6)^3 |
| Sonuç | Yaklaşık 343.440 TL |
| Doğru seçenek | D) 70³ (343.000 civarı) |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden bileşik artış kullanılır?
Bileşik artış, artışın üzerinde yeni artışların da etkili olduğu durumlarda gerçekçi sonuç verir. Proje bütçesinde olduğu gibi, her yıl artan bütçe bir sonraki yılın temelini oluşturur.
2. Basit artışla nasıl hesaplama yapılır?
Basit artışta yıllık artış sabittir, toplam artış PV \times r \times n formülüyle hesaplanır. Bu yöntem uzun vadede yanlıştır ve bütçeyi küçümser.
3. 1/6 artış oranı yüzde kaçtır?
\frac{1}{6} = 0.1667 yani %16,67’dir.
Sonraki Adımlar
Bu konuyu ileri düzeyde anlamak ister misiniz:
- Bileşik faiz ve bileşik büyüme formüllerinin karşılaştırılması ve farklı uygulamaları?
- Yıllık artış oranının değiştiği durumlarda hesaplama yöntemleri?
- Alternatif matematiksel modellerle bütçe tahmini nasıl yapılır?
Hangisi ilginizi çeker? @Aysima_AVCI
Soru Özeti
Bir mühendislik firması, 2022 yılında 216.000 ₺ bütçeyle projeye başladı. 2023, 2024 ve 2025 yıllarının 1 Ocak tarihlerinde bütçeye her seferinde önceki yıla göre \tfrac{1}{6} oranında artış yapılıyor. 1 Ocak 2025 tarihindeki bütçe kaç lira olur?
Temel Çıkarımlar
- Başlangıç bütçesi: 216.000 ₺ (1 Ocak 2022)
- Yıllık artış oranı: \tfrac{1}{6} (her 1 Ocak’ta)
- Artış sayısı: 3 kez (2023, 2024, 2025)
Doğrudan Cevap
Projeye ayrılan bütçe, her yıl \bigl(1 + \tfrac{1}{6}\bigr)=\tfrac{7}{6} katsayısı ile üç kez katlanır.
Doğru seçenek D) 70^3.
İçindekiler
1. Sorunun Analizi
- Bütçe artışı sabit bir oran (\tfrac{1}{6}) ile her yıl tekrarlanıyor → geometrik dizi modeli
- İlk terim a_1=216\,000 ₺, ortak çarpan r=1+\tfrac{1}{6}=\tfrac{7}{6}
- 3 artış sonrası terim sayısı: n=1+3=4 ama artış sadece 3 kez uygulandığı için formül:a_{4}=a_{1}\,r^{3}
2. Çözüm Adımları
- Artış katsayısını belirle:r=1+\tfrac{1}{6}=\tfrac{7}{6}
- Toplam artış sayısı: 3
- Formülü uygula:B_{2025} =216\,000\times\Bigl(\tfrac{7}{6}\Bigr)^{3} =216\,000\times\tfrac{343}{216} =343\,000\,.
- Seçenekleri karşılaştır: 70³ = 343 000 → D şıkkı.
3. Özet Tablosu
| Başlangıç Bütçesi | Artış Oranı r | Uygulama Sayısı | Son Bütçe |
|---|---|---|---|
| 216 000 ₺ | 1+\tfrac{1}{6} | 3 kez | 216\,000\times(\tfrac{7}{6})^3=343\,000 ₺ |
4. SSS
S1: Geometrik artışla aritmetik artış arasındaki fark nedir?
C1: Aritmetikte sabit fark eklenir, geometride sabit oran (r) ile çarpılır.
S2: \tfrac{1}{6} oranı yüzde olarak nasıl ifade edilir?
C2: \tfrac{1}{6}\approx0{,}1667=16{,}67\%
S3: Üslü ifadede taban ve üs neyi temsil eder?
C3: Taban (a) başlangıcı, üs (n) kaç kez tekrarlanan katlamayı gösterir: a^n=a\times a\times\dots\times a.
S4: Bütçe hesabı başka yıllara nasıl genellenir?
C4: n yıllık artış için B_{2022+n}=B_{2022}\times r^n formülü kullanılır.
Çözümü anladıktan sonra benzer üç tane geometik dizi problemi çözmek ister misiniz?