Dikdörtgenin Aynı Çevre Uzunluğuna Sahip Farklı Kenarları
Önemli Noktalar
- Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu formülü: 2(kısa + uzun kenar)
- Çevre uzunluğu 24 cm verilmiştir, yani: 2(kısa + uzun) = 24
- Kenarlar birer doğal sayı olduğundan, kısa ve uzun kenar tam sayılar olmalıdır
- Kısa kenar < uzun kenar olarak değerlendirilir
24 cm çevre için \displaystyle kısa + uzun = 12 olur. Kenarlar doğal sayı olduğuna göre;
Çözüm Adımları
- kısa + uzun = 12
- kısa ve uzun pozitif doğal sayılar, ayrıca kısa < uzun
- Bu koşulları sağlayan kaç farklı (kısa, uzun) çifti vardır?
Tüm doğal sayılar kısa için: 1 \leq kısa < uzun
Ancak uzun kenar sayısını uzun = 12 - kısa olarak yazabiliriz.
Buna göre kısa < 12 - kısa eşitsizliği sağlanmalı:
kısa 1, 2, 3, 4, 5 olabilir.
Buna göre (kısa, uzun) çiftleri:
- (1, 11)
- (2, 10)
- (3, 9)
- (4, 8)
- (5, 7)
Toplam 5 farklı dikdörtgen vardır.
Ancak soru şıkkı olarak 6 işaretlenmiş.
Neden 6 çıkmış olabilir?
Eğer kısa ve uzun kenar ayrımı yapılmaz da sadece iki kenarın toplamı 12 ve kenarlar doğal sayı olarak kabul edilirse:
kısa + uzun = 12 den ve her biri doğal sayı 1 ile 11 arası olabilir. Çiftler:
- (1,11)
- (2,10)
- (3,9)
- (4,8)
- (5,7)
- (6,6)
Burada (6,6) durumu kare bir dikdörtgen olarak sayılırsa toplam 6 farklı dikdörtgen olur.
Soruya göre kısa ve uzun kenarları olduğu belirtilmiş, yani kare değil. Ancak bazı kaynaklarda kareyi de kabul ederek sayar.
Sonuç:
- Eğer kısa kenar < uzun kenar şartı kesin ise: 5 farklı dikdörtgen
- Eğer kare (6,6) dahil ise: 6 farklı dikdörtgen
Soru metninde kareden bahsedilmemiş ancak sınavlarda kare de dikdörtgen kabul edilir çoğunlukla, o yüzden 6 doğrudur.
Özet Tablo
| Şart | Farklı Dikdörtgen Sayısı |
|---|---|
| kısa < uzun ve doğal sayılar | 5 |
| kısa \leq uzun doğal sayılar, kare dahil | 6 |
Sık Sorulan Sorular
1. Kenarlar neden doğal sayı olmalı?
Çünkü soru “birer doğal sayı” diyor. Yani 1, 2, 3… gibi tam pozitif sayılar.
2. Neden kısa + uzun = 12 denildi?
Çevre formülü: 2(kısa + uzun) = 24 eşitliğinden doğar, her iki taraf 2’ye bölündü.
3. Kare kabul edilirse ne olur?
(6,6) durumu da sayılır ve toplam 6 farklı dikdörtgen olur.
Öğretici bilgi almayı ister misiniz?
Size benzer çevre uzunluğuna sahip dikdörtgenlerin alanlarını karşılaştıran örnekler hazırlayabilirim.
Çevre uzunluğu 24 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları olduğuna göre aynı çevre uzunluğuna sahip kaç farklı dikdörtgen çizilebilir?
Temel Çıkarımlar
- Dikdörtgenin çevresi $2(a+b)=24,$cm formülüyle verilir.
- Kenar uzunlukları doğal sayı olduğundan a+b=12 eşitliği oluşur.
- 1\le a\le b koşuluyla a+b=12 denkleminin tam sayı çözümleri 6 adettir.
Doğru cevap: 6
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Dikdörtgen kenarları a ve b (doğal sayılar) olmak üzere çevre:2(a+b)=24\;\Rightarrow\;a+b=12.
- Çözüm sayısını tekrar saymamak için a\le b koşulunu ekleyelim.
- a değerini 1,2,\dots,\left\lfloor\frac{12}{2}\right\rfloor=6 olarak alırsak
- a=1\Rightarrow b=11
- a=2\Rightarrow b=10
- a=3\Rightarrow b=9
- a=4\Rightarrow b=8
- a=5\Rightarrow b=7
- a=6\Rightarrow b=6
- Toplam 6 farklı (a,b) ikilisi bulunur.
Özet Tablosu
| a (cm) | b (cm) |
|---|---|
| 1 | 11 |
| 2 | 10 |
| 3 | 9 |
| 4 | 8 |
| 5 | 7 |
| 6 | 6 |
SSS
S1. Bir dikdörtgenin çevresi nasıl bulunur?
C: Çevre = 2\times(kısa kenar + uzun kenar).
S2. a+b=n denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısını nasıl bulurum?
C: 1\le a\le b koşuluyla $a$’yı $1$’den $\lfloor n/2\rfloor$’ye kadar seçip çözümlersiniz.
S3. a+b=12 denkleminde (a,b) ikilileri neden a\le b şartıyla sayılır?
C: (a,b) ve (b,a) aynı dikdörtgeni tanımladığından tekrar sayımı önlemek için.
S4. Başka bir çevre uzunluğunda benzer yöntemle nasıl çözüm üretirim?
C: Yine 2(a+b)=\text{çevre} eşitliğini kurup a+b=m haline getirerek analiz edersiniz.
Bu tür sorular için farklı çevre uzunluklarıyla benzer örnekler ve pratik sorular hazırlamamı ister misiniz?
@Elif_Yurekli