‘?’ yerine gelebilecek kartlardan sadece 51 ile ortak böleni olanlar seçilmelidir, çünkü Ali tam 2 grubu asal sayılar olarak boyamıştır ve birinci iki grup zaten asal. Mevcut seçenekler {21, 34, 18, 19, 91} içinden:
- gcd(51, 21)=3
- gcd(51, 34)=17
- gcd(51, 18)=3
- gcd(51, 19)=1
- gcd(51, 91)=1
Ortak bölen >1 verenler: 21, 34, 18. Toplam 3 farklı kart vardır. Cevap: 3.
Resimli Soru 07-01-2026 22:19:38
Önemli Noktalar
- Kartlardaki sayılar ikişerli gruplara ayrılmış.
- Gruplar arasında asal (aralarında asal) olanlar mavi ile işaretlenmiş.
- ? yerine gelecek kartı belirlemek için aralarında asal olan çiftler incelenmeli.
- Ali iki grubu maviye boyadığına göre, ? yazan kart için aynı özelliğe sahip kartlar sayılmalı.
Soruda verilen sayılar:
1, 21, 51, 34, 11, 12, 9, 18, 19, 91
Gruplandırılmış kartlar:
- Grup 1: 1 ve 9
- Grup 2: 11 ve 12
- Grup 3: 51 ve ?
Ali, aralarında asal olan kart çiftlerini maviye boyamıştır. O halde;
-
1 ile 9 aralarında asal mı?
1 ile herhangi bir sayı aralarında asaldır (1’in asal sayılığı yoktur, ama aralarında asal kabul edilir), dolayısıyla grup 1 mavidir. -
11 ile 12 aralarında asal mı?
11 asal, 12 değil. Ortak böleni var mı?
12’nin asal çarpanları: 2, 2, 3
11 ile 12’nin ortak böleni yok (11 asal sayıdır), dolayısıyla aralarında asal, grup 2 mavidir. -
51 ile ?
51 sayısının asal çarpanlarına bakalım:
51 = 3 * 17
? sayısının 51 ile aralarında asal olması için ortak asal çarpanı olmamalı.
Verilen sayılar içinde 51’nin yanına gelebilecek kartlar:
Sayılar: 1, 21, 51, 34, 11, 12, 9, 18, 19, 91 (6 tanesi seçilmiş, ama elimizde 10 sayımız var)
51’nin yanına gelebilecek kartlar ancak 51 ile aralarında asal olmalı.
51 ve 1: Aralarında asal (1 her zaman aralarında asal kabul edilir).
51 ve 21: 21 = 37, 51=317 → ortak asal çarpanı 3 → asal değil.
51 ve 34: 34 = 217, 51 = 317 → ortak asal 17 → asal değil.
51 ve 11: 11 asal, 51 = 3*17 → ortak asal yok → aralarında asal.
51 ve 12: Gruplarda zaten 11-12 var, ve şıkkımızda ? değil.
51 ve 9: 9 = 33, 51 = 317 → ortak asal 3 → asal değil.
51 ve 18: 18 = 233, 51=3*17 → ortak asal 3 → değil.
51 ve 19: 19 asal, 51=3*17 → ortak asal yok → aralarında asal.
51 ve 91: 91 = 713, 51=317 → ortak asal yok → aralarında asal.
Öyleyse ? yerine gelebilecek kartlar 1, 11, 19, 91 olabilir. Ancak 11, kart grubunda kullanılmış, 1 ise ilk grupta; soruya göre ? yerine kart seçilecek ve 6 karttan sadece 6 tanesi seçilmiştir.
Verilen seçeneklere göre Ali 2 grup maviyse, son grup (51, ?) ikilisi arasında asal olan kartların sayısı kaçtır?
Fakat soruda Ali iki grubu maviye boyamıştır.
İlk grup: 1-9 aralarında asal → mavidir.
İkinci grup: 11-12 aralarında asal → mavidir.
Üçüncü grup: 51-? seçilecek.
İki grup maviyse üçüncü grup maviden sayılmaz. Yani 51 ile ? arasındaki sayılar aralarında asal olmamalı.
Burada kritik nokta: Ali iki grubu maviye boyamışsa, 51 ile ? aralarında asal değil.
51 ile ? aralarında asal olmayan sayılar:
27 ile aralarında asal olmayanlar seçilirse sadece bir tane ? kart olur.
51 ile aralarında asal olmayan sayılar şunlardır:
21 (3 ortak)
34 (17 ortak)
9 (3 ortak)
18 (3 ortak)
? kart 21, 34, 9 veya 18 olabilir.
Bu dört sayıdan hangileri kartlarda var?
Kartlar: 1, 21, 51, 34, 11, 12, 9, 18, 19, 91
Yani 21, 34, 9 ve 18 seçeneklerde var.
Buna göre ? yerine 4 farklı sayı gelebilir.
Cevap: D) 4
İçindekiler
- Soru Analizi ve Temel Kavramlar
- Aralarında Asal Sayılar ve Uygulama
- Karşılaştırma Tablosu: Aralarında Asal ve Ortak Çarpanlar
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Soru Analizi ve Temel Kavramlar
Aralarında asal sayılar, ortak böleni 1 olan sayılardır. 1 sayısı, tüm sayılarla aralarında asaldır. Bu temel tanım çözümün odak noktasıdır.
Ali üç gruptan sadece iki tanesini maviye boyamış, yani bu iki grup aralarında asal sayı çiftlerinden oluşuyor.
Üçüncü grup ise aralarında asal değil, yani ortak bir asal çarpan paylaşıyor.
Toplam kart sayısı 10; verilen kartlardan seçilen 6 tanesi yukarıdaki şekilde gruplanmış.
Uyarı: Aralarında asal olmayan grubun içindeki ? yerine gelecek sayı için seçenekler sadece verilen kartlar içinden seçilebilir.
Aralarında Asal Sayılar ve Uygulama
- 1 ile 9 aralarında asaldır.
- 11 ile 12 aralarında asaldır.
- 51 ile ? ikilisi aralarında asal değil.
Bu bilgiye göre ?'nin alabileceği değerler, 51 ile ortak asal çarpanı olan sayılar arasında seçilmelidir.
51’nin asal çarpanları: 3 ve 17.
Kartlar arasından 3 veya 17’yi faktör olarak içerenler:
- 21 = 3*7 (ortak 3)
- 34 = 2*17 (ortak 17)
- 9 = 3*3 (ortak 3)
- 18 = 233 (ortak 3)
Bunların hepsi aralarında asal değildir.
? yerine olabilirler.
4 farklı kart olduğu için cevap 4.
Pro Tip: Aralarında asal olmayan sayılar bulmak için asal çarpan analizi yapmak hızlı ve kesin sonuç verir.
Karşılaştırma Tablosu: Aralarında Asal vs Ortak Çarpan
| Özellik | Aralarında Asal | Ortak Çarpan Var (Asal Değil) |
|---|---|---|
| Ortak Bölen | Sadece 1 | 1’den başka asal sayı var |
| Örnek | (1, 9), (11, 12), (11, 51) | (21, 51), (34, 51), (9, 51) |
| Grup Rengi | Mavi | Mavi değil |
| ? için Uygun Değer | Ortak böleni olmamalı | (Soruya göre doğru cevap) |
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Verilen Kartlar | 1, 21, 51, 34, 11, 12, 9, 18, 19, 91 |
| İki Grup Aralarında Asal | 1-9, 11-12 |
| 51-? Arasında Aralarında Asal Olmayanlar | 21, 34, 9, 18 |
| ? için Olası Kart Sayısı | 4 |
| Doğru Cevap | D) 4 |
Sık Sorulan Sorular
1. Aralarında asal sayıların temel özelliği nedir?
İki sayının sadece ortak böleni 1 ise bu sayılar aralarında asal kabul edilir.
2. Neden 1 sayısı tüm sayılarla aralarında asal?
1 faktör olarak sadece kendine sahip olduğundan, başka sayılarla ortak asal çarpanı yoktur.
3. Asal çarpan analizi nasıl yapılır?
Sayının asal bölenleri bulunur, karşılaştırılan sayıların ortak asal bölenleri olup olmadığı kontrol edilir.
Sonraki Adımlar
Aralarında asal sayılar ve asal çarpanlar konusunda daha karmaşık sorular istersen, sana özel çözümler hazırlayabilirim. İstersen asal sayıların pratikteki uygulamalarını veya asal çarpan analiz yöntemlerini detaylı anlatayım mı?