Resimli Soru 07-01-2026 22:21:12 - Ardıktaki İki Fıskiye Arasındaki Mesafenin Doğal Sayı Değerleri
Önemli Noktalar
- Otomatik sulama hattındaki fıskiyeler, A, B ve C vanaları arasında eşit aralıklı yerleştirilecek.
- A-B arası 180 m, B-C arası 150 m mesafe var.
- Fıskiyeler arası mesafeler doğal sayı cinsinden olmalı.
- Ardıktaki iki fıskiye arasındaki mesafenin doğal sayı değerlerinin kaç farklı şekilde alınabileceği soruluyor.
Sulama hattında iki ardışık fıskiye arasındaki mesafe, hem A-B hattında hem de B-C hattında aynı olmalı. Bu mesafe, A-B mesafesi (180 m) ile B-C mesafesi (150 m) uzunluklarının ortak böleni olmalıdır.
Bu ortak bölen doğal sayıların sayısını bulmak için, 180 ve 150 sayıların OBEB (En Büyük Ortak Bölgen) ve bölenlerini inceleyeceğiz.
İçindekiler
1. OBEB ve Ortak Bölenler
180 sayısının asal çarpanlara ayrılması:
180 = 2² × 3² × 5¹
150 sayısının asal çarpanlara ayrılması:
150 = 2¹ × 3¹ × 5²
Bu iki sayının OBEB’i (En Büyük Ortak Bölen):
OBEB = en küçük kuvvetlerin çarpımı
= 2¹ × 3¹ × 5¹ = 2 × 3 × 5 = 30
2. Fıskiye Arası Mesafe Seçenekleri
İki mesafeyi (180 ve 150) birbirine bölerek tam bölünen doğal sayılar bulmalıyız.
Bu doğal sayılar, hem 180’in hem de 150’nin bölenleri olmalıdır. Yani, ortak bölenleri olmalıdır.
OBEB=30 olduğuna göre, ortak bölenler 30’un bölenleri arasındadır.
30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Toplam 8 tane doğal sayı değer vardır.
3. Sonuç ve Cevap
Ardışık iki fıskiye arasındaki mesafe olarak alınabilecek farklı doğal sayı sayısı 8’dir.
Doğru seçenek: D) 8
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| A-B mesafesi | 180 m | 2² × 3² × 5 |
| B-C mesafesi | 150 m | 2 × 3 × 5² |
| OBEB | Minimum ortak bölme uzunluğu | 30 m |
| Farklı doğal sayı mesafe seçenekleri | 30’un bölenleri | 8 adet (1,2,3,5,6,10,15,30) |
| Cevap | Toplam seçenek sayısı | 8 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden OBEB kullanılır?
OBEB, verilen iki sayıyı tam bölen en büyük sayıdır. Ortak bölme, eşit aralıklar için gereklidir.
2. Fıskiye arası mesafe neden doğal sayı olmalı?
Pratikte sulama düzeni ve ölçümlerde tam metre kullanılması kolaylık sağlar.
3. Ortak kat kullanılır mı?
Bu problemde ortak kat değil, ortak bölen kullanılır çünkü eşit uzunluk parçalar aranıyor.
Sonraki Adımlar
Bu tür problemler için, en hızlı prime factorization (asal çarpanlara ayırma) yöntemleri veya OBEB algoritmalarını öğrenmek ister misiniz?
Ya da farklı uygulamalı sulama düzeni hesaplamalarını detaylı inceleyelim mi?
Aşağıdaki Soru
Aşağıda orta refüjdeki çim alana otomatik sulama hattı yapılacak olan caddenin görseli verilmiştir. Refüj üzerinde işaretlenen A, B ve C noktalarında su vanaları bulunmaktadır.
Sulama hattının yapılacağı A ve B vanaları arasındaki mesafe 180 m, B ve C vanaları arasındaki mesafe 150 m’dir. Bu hat üzerine vanalara ve bitişlerine metre cinsinden eşit mesafede olacak şekilde fıskiyeler doğrusal olarak yerleştirilecektir.
Buna göre ardışık iki fıskiye arasındaki mesafenin metre cinsinden alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?
Önemli Noktalar
- A–B arası mesafe 180 m, B–C arası mesafe 150 m.
- Ardışık fıskiye mesafesi d pozitif tam sayı olmalı ve hem 180’in hem 150’nin böleni olmalı.
- \gcd(180,150)=30, bu nedenle d değeri 30’un pozitif bölenleridir.
Cevap
Ardışık iki fıskiye arasındaki mesafenin alabileceği farklı doğal sayı değerleri, 180 ve 150 sayılarını tam bölen pozitif tam sayılardır.
Bunlar \gcd(180,150)=30 sayısının bölenleri olup toplam 8 tanedir.
Doğru seçenek: D) 8
İçindekiler
1. Çözümün Detayları
-
Ardışık fıskiye aralığı d olsun.
-
A ile B arasında 180 m, B ile C arasında 150 m olduğuna göre
- d \mid 180
- d \mid 150
-
Böyle bir d ancak $\gcd(180,150)$’in bölenlerinden biridir.
\gcd(180,150) = \gcd(150,\,180-150) = \gcd(150,30) = 30. -
30’un pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
– Toplam 8 farklı değer.
2. EBOB ve EKOK Karşılaştırması
| Özellik | EBOB (gcd) | EKOK (lcm) |
|---|---|---|
| Tanım | İki sayının en büyük ortak böleni | İki sayının en küçük ortak katı |
| Sembol | \gcd(a,b) | \mathrm{lcm}(a,b) |
| Örnek | \gcd(180,150)=30 | \mathrm{lcm}(180,150)=\tfrac{180\cdot150}{30}=900 |
| Kullanım Amacı | Bölünebilirlik problemleri | Ortak kat yerleşimleri, bölüm sayıları |
3. Özet Tablosu
| Veri | Değer |
|---|---|
| A–B Mesafe | 180 m |
| B–C Mesafe | 150 m |
| EBOB = \gcd(180,150) | 30 |
| Olabilecek d değerleri sayısı | 8 |
4. SSS
S1: Fıskiye aralığı nasıl seçilir?
C1: Aralığı, iki vana arası mesafenin tam bölenleri arasından seçersiniz.
S2: EBOB nasıl hızla bulunur?
C2: Öklid algoritması ile ardışık çıkarmalar ya da mod alma işlemi uygulanarak.
S3: Bu yöntem başka mesafelere de uygulanır mı?
C3: Evet. Herhangi iki nokta arası eşit mesafeli yerleşimde aynı mantıkla \gcd alınır.
S4: EBOB ile EKOK ilişkisi nedir?
C4: a\cdot b = \gcd(a,b)\times \mathrm{lcm}(a,b) formülü ile bağ kurulur.
Bu çözüme ek olarak, örneğin fıskiye mesafesi olarak 10 m seçilse, A–B ve B–C segmentlerinde kaç adet fıskiye yerleştirilir? @Berat_Haydaroglu