Soru:
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı y = f(x) doğrusal referans fonksiyonu
f(x) = (a – 2)x² + (b + 1)x + c – 3
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f(a) + f(b) – f(c) ifadesinin değerini bulunuz.
İçindekiler
- Fonksiyon Türü ve Referans Fonksiyonu
- Fonksiyonun Genel İfadesi
- Referans Fonksiyon f(x)=x ile Karşılaştırma
- Koefisyentlerin Bulunması
- f(a), f(b), f(c) Değerlerinin Hesaplanması
- f(a)+f(b)–f(c) İfadesinin Hesaplanması
- Özet Tablo
- Sonuç ve Değerlendirme
1. Fonksiyon Türü ve Referans Fonksiyonu
- “Doğrusal referans fonksiyonu” ifadesi burada f(x) = x (kimlik/identity fonksiyonu) anlamındadır.
- Yani verilen genel formda yer alan katsayılar öyle seçilmelidir ki f(x) ≡ x eşitliği sağlansın.
2. Fonksiyonun Genel İfadesi
Veriliyor:
f(x) \;=\;(a - 2)\,x^2 \;+\;(b + 1)\,x \;+\;(c - 3)
- Burada a, b, c gerçek sayılardır.
- “Doğrusal referans” olması için x^2 teriminin katsayısı sıfır olmalıdır.
3. Referans Fonksiyon f(x)=x ile Karşılaştırma
Kimlik fonksiyonu:
f_{\text{ref}}(x) = x
Eğer
(a-2)x^2 + (b+1)x + (c-3) \equiv x
ise, tüm $x$’ler için şu eşitlikler sağlanmalıdır:
- x^2 terimi yok:
a - 2 = 0 - x terimi bire eşit:
b + 1 = 1 - Sabit terim sıfır:
c - 3 = 0
4. Koefisyentlerin Bulunması
Yukarıdaki üç denklemi çözelim:
- a - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 2
- b + 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad b = 0
- c - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 3
Böylece:
- a = 2
- b = 0
- c = 3
Elde edilen değerler, fonksiyonumuzu gerçekte f(x) = x hâline dönüştürür.
5. f(a), f(b), f(c) Değerlerinin Hesaplanması
Artık f(x)=x olduğuna göre:
- f(a) = f(2) = 2
- f(b) = f(0) = 0
- f(c) = f(3) = 3
6. f(a)+f(b)–f(c) İfadesinin Hesaplanması
Bu değerleri yerine koyarsak:
f(a) + f(b) - f(c) = 2 + 0 - 3 = -1
Sonuç: –1
7. Özet Tablo
| Adım | Denklem veya Değer | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. a-2=0 | a - 2 = 0 | a=2 |
| 2. b+1=1 | b + 1 = 1 | b=0 |
| 3. c-3=0 | c - 3 = 0 | c=3 |
| 4. Fonksiyon | f(x) = (2-2)x^2 + (0+1)x + (3-3) | f(x)=x |
| 5. f(a),f(b),f(c) | f(2)=2,\;f(0)=0,\;f(3)=3 | – |
| 6. İfade Sonucu | 2 + 0 - 3 | –1 |
8. Sonuç ve Değerlendirme
- Verilen fonksiyonun “doğrusal referans” olması, fonksiyonun tam olarak f(x)=x şeklinde olmasını gerektirir.
- Katsayı karşılaştırması yöntemiyle a, b, c değerlerini bulduk ve bu sayede f(a)+f(b)-f(c) ifadesini doğrudan hesapladık.
- Cevap: –1
Soru: Görselde verilen f(x) = (a − 2)x^2 + (b + 1)x + c − 3 fonksiyonuna göre f(a) + f(b) − f(c) ifadesinin değerini bulunuz.
Cevap:
Önce tek tek hesaplayalım.
-
f(a)=(a-2)a^2+(b+1)a+c-3 = a^3-2a^2+ab+a+c-3
-
f(b)=(a-2)b^2+(b+1)b+c-3 = ab^2-b^2+b+c-3
-
f(c)=(a-2)c^2+(b+1)c+c-3 = ac^2-2c^2+bc+2c-3
Şimdi f(a)+f(b)-f(c):
\begin{aligned} f(a)+f(b)-f(c) &= (a^3-2a^2+ab+a+c-3) \\ &\quad +(ab^2-b^2+b+c-3) \\ &\quad -(ac^2-2c^2+bc+2c-3) \end{aligned}
Sadeleştirirsek (lineer c terimleri birbirini götürür):
\begin{aligned} f(a)+f(b)-f(c) &= a^3-2a^2 + ab^2 - ac^2 +2c^2 + ab - b^2 + b + a - bc -3. \end{aligned}
İsterseniz bu ifadeyi şöyle de yazabiliriz:
f(a)+f(b)-f(c)=a\big(a^2-2a+b^2-c^2+b+1\big) + (2c^2-b^2+b-bc-3).
Not: Görselin sağ üst köşesinde el yazısıyla “a = -2” varmış; eğer gerçekten a=-2 ise yukarıdaki genel ifadeye bu değeri koyup sonucu sayısal (b,c’ye bağlı) ifade olarak elde edebiliriz — isterseniz onu da yaparım. Ayrıca problemde fonksiyonun “doğrusal” olduğu belirtiliyorsa bu ancak a-2=0 yani a=2 ile sağlanır; hangi koşulun geçerli olduğunu teyit ederseniz ilgili özel durumu da hesaplayayım.