Resimli soruda verilen trigonometrik ifadenin eşit olduğu ifade nedir?
Soru:
\frac{\cos\left(\frac{15\pi}{2} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)}{\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + 1}
ifadesinin eşit olduğu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm Adımları:
1. Pay kısmını sadeleştirelim:
\cos\left(\frac{15\pi}{2} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
Öncelikle \cos\left(\frac{15\pi}{2} - \alpha\right) ifadesini sadeleştirelim.
- \frac{15\pi}{2} = 7\pi + \frac{\pi}{2} (çünkü 7\pi = \frac{14\pi}{2})
- \cos\left(7\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\left(7\pi + \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right)
Cos fonksiyonunun periyodu 2\pi olduğundan, 7\pi = 3 \cdot 2\pi + \pi, yani
\cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos x
Burada x = \frac{\pi}{2} - \alpha.
Buna göre:
\cos\left(\frac{15\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(7\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\pi + (\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
Yani:
\cos\left(\frac{15\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
Böylece pay:
-\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 0
Ama bu sonuç sıfır oldu, bu da ifadenin sıfır olduğu anlamına gelir. Ancak bu durum sorunun mantığına uymuyor, çünkü payda da var.
Burada dikkat edilmesi gereken nokta, cos fonksiyonunun periyodu 2\pi, ancak açılar \frac{15\pi}{2} gibi büyük açılar olduğunda, açıyı 2\pi periyoduna göre sadeleştirmek gerekir.
1.1 Açıyı 2\pi periyoduna göre sadeleştirme:
- \frac{15\pi}{2} = 7\pi + \frac{\pi}{2}
- 7\pi = 3 \cdot 2\pi + \pi
- Yani \frac{15\pi}{2} = 3 \cdot 2\pi + \pi + \frac{\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2} (mod 2\pi)
Bu durumda:
\cos\left(\frac{15\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right)
Cos fonksiyonunda:
\cos(\pi + x) = -\cos x
Buradan:
\cos\left(\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
Yani önceki sonuç doğrudur.
1.2 Payı tekrar yazalım:
\cos\left(\frac{15\pi}{2} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 0
Yani pay sıfır.
2. Payda kısmını inceleyelim:
\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + 1
Trigonometrik özdeşliklerden:
\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan \alpha
Buna göre:
\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + 1 = \tan \alpha + 1
3. İfade:
\frac{0}{\tan \alpha + 1} = 0
4. Sonuç:
İfade her zaman sıfıra eşittir (tan α ≠ -1 olduğu sürece).
5. Şıklara bakalım:
| Şık | İfade |
|---|---|
| A) | -\sin \alpha |
| B) | -\cos \alpha |
| C) | -1 |
| D) | \sin \alpha |
| E) | \csc \alpha |
İfade 0 olduğuna göre, verilen şıklar arasında 0 yok.
6. Soruda hata olabilir mi?
Soruda pay ve payda ifadeleri doğru okunmuş mu kontrol edelim.
7. Alternatif çözüm: Cos toplam formülü kullanımı
İfade:
\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}
Burada:
A = \frac{15\pi}{2} - \alpha, \quad B = \frac{\pi}{2} - \alpha
Toplam ve fark:
A + B = \frac{15\pi}{2} - \alpha + \frac{\pi}{2} - \alpha = \frac{16\pi}{2} - 2\alpha = 8\pi - 2\alpha
A - B = \frac{15\pi}{2} - \alpha - \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{14\pi}{2} = 7\pi
Cos fonksiyonunun periyodu 2\pi, 7\pi mod 2\pi:
7\pi = 3 \cdot 2\pi + \pi \Rightarrow \cos 7\pi = \cos \pi = -1
Yani:
\cos \frac{A-B}{2} = \cos \frac{7\pi}{2} = ?
Burada \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}.
Cos fonksiyonunda:
\cos(3\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi + 2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2}) = -\cos \frac{\pi}{2} = 0
Çünkü \cos \frac{\pi}{2} = 0.
Dolayısıyla:
\cos \frac{A-B}{2} = 0
Bu durumda pay:
2 \cos \frac{A+B}{2} \cdot 0 = 0
Yine pay sıfır.
8. Sonuç:
İfade sıfırdır.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem/Özellik | Sonuç |
|---|---|---|
| Paydaki açılar | A = \frac{15\pi}{2} - \alpha, B = \frac{\pi}{2} - \alpha | |
| Cos toplam formülü | \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} | |
| A+B | 8\pi - 2\alpha | |
| A-B | 7\pi | |
| \cos \frac{A-B}{2} | \cos \frac{7\pi}{2} = 0 | Pay sıfır |
| Payda | \cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + 1 = \tan \alpha + 1 | |
| İfade | \frac{0}{\tan \alpha + 1} = 0 | İfade sıfır |
Sonuç:
Verilen ifade her durumda 0’a eşittir. Ancak şıklarda 0 yoktur. Bu durumda soruda ya bir yazım hatası vardır ya da şıklar yanlış verilmiştir.
Öneri:
Eğer şıklarda 0 yoksa ve ifade 0 ise, soruyu tekrar gözden geçirmek gerekir. Alternatif olarak, soruda pay veya payda ifadeleri farklı okunmuş olabilir.
Kısaca:
Verilen ifade 0'a eşittir.
Merhaba @Almila_Alpman, fotoğraftaki kesirli ifadeyi tam olarak okumakta zorlandım. Yardımcı olabilmem için lütfen pay ve paydayı şu formatta yeniden yazar mısın? Örneğin:
\[
\frac{\displaystyle \frac{\cos(15^\circ - \alpha)}{2} \;+\; \cos\bigl(\tfrac\pi2 - \alpha\bigr)}
{\displaystyle \cot\bigl(\tfrac\pi2 - \alpha\bigr)\;+\;1}
\]
– Bu şekilde hem terimleri net görür, hem de adım adım sadeleştirip sonucu kolaylıkla bulabiliriz. Pay kısmındaki “ikinci cos(…)” açısını ve paydayı tam olarak yazarsan, hemen çözüm adımlarını paylaşayım.