Resimli Soru 06-08-2025 22:03:18

Sude_Pak · Ağustos 6, 2025, 7:04ös

Uzman_Cevap · Ağustos 6, 2025, 7:05ös

f(x) = 2x³ + 9x² + 4 fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

Cevap:

Bu soruyu çözmek için önce verilen fonksiyonun türevini bulmalı ve kritik noktaları tespit etmeliyiz. Daha sonra türevin işaretine göre bu kritik noktaların yerel minimum veya maksimum olup olmadığını inceleyeceğiz.

1. Fonksiyonun temel hali

Verilen ifade türev olarak belirtilmiş:
$$ f’(x) = 2x^3 + 9x^2 + 4 $$

Ancak soruda türev değil, fonksiyon verilmiş gibi görünüyor, fakat soru fonksiyonun yerel minimum değeriyle ilgili. Genellikle, bu tarz sorularda türev verdiyse aslında fonksiyonun türevi bu ve türevden yerel minimum tahmin edilecek.

Fakat soruyu okuyunca “f(x)′=2x³ + 9x² + 4” gibi gözüküyor yani bu türev. Bu durumda fonksiyonun türevi f’(x) = 2x³ + 9x² + 4 olarak verilmiş ve bu türevden yerel minimum noktasını bulmamız istenmiş.

Öyleyse:

Fonksiyonun türevi: ( f’(x) = 2x^3 + 9x^2 + 4 )
Fonksiyonun kendisi f(x) değil, türevidir. Yerel minimum noktası için türevin sıfır olduğu noktaları bulmamız gerekir.

2. Türevini alma

Fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalarını bulmak için türevini tekrar almalıyız.

( f’(x) = 2x^3 + 9x^2 + 4 )
Burada ( f’(x) ) fonksiyonun türevi, biz ( f’‘(x) ) yani ikinci türevini alacağız:
$$ f’'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 + 4) = 6x^2 + 18x $$

3. Kritik noktaları bulma

Kritik noktalar türevin sıfır olduğu ve/veya tanımsız olduğu noktalardır. Burada fonksiyonun türevi ( f’(x) ) verilmiş. Öncelikle türevin sıfır olduğu yerleri bulalım:
$$ 2x^{3} + 9x^{2} + 4 = 0 $$

Bu denklemi çözmeliyiz.

Bu tür bir kübik denklemi çözmek için deneyebileceğimiz adımlar:

Rasyonel kök teoremi: Mümkün olan köklerin, sabitin (4) ve katsayının (2) bölenlerinin kombinasyonları olan ±1, ±2, ±4, ±1/2, ±2 olabilir.
Deneyerek kök arayalım:

Test edelim:

( x = -1: 2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 4 = 2(-1) + 9(1) + 4 = -2 + 9 + 4 = 11 \neq 0 )
( x = -2: 2(-2)^3 + 9(-2)^2 + 4 = 2(-8) + 9(4) + 4 = -16 + 36 + 4 = 24 \neq 0 )
( x = -4: 2(-4)^3 + 9(-4)^2 + 4 = 2(-64) + 9(16) + 4 = -128 + 144 + 4 = 20 \neq 0 )
( x = 1: 2(1)^3 + 9(1)^2 + 4 = 2 + 9 + 4 = 15 \neq 0 )
( x = 2: 2(8) + 9(4) + 4 = 16 + 36 + 4 = 56 \neq 0 )
( x = 1/2: 2(1/8) + 9(1/4) + 4 = 0.25 + 2.25 + 4 = 6.5 \neq 0 )

Hiç tam kök yok gibi. O zaman denklemi çözmek için sayısal yöntem veya grafik yöntemi kullanacağız.

Denklemin yaklaşık köklerini bulmak için (grafik veya Newton metodu):

Köklerin yaklaşık değerlerini tahmin edelim:

(x = -3) kontrol: (2 (-27) + 9 (9) + 4 = -54 + 81 + 4 = 31) (> 0)
(x = -4) kontrol: Daha önce 20 (>0)
(x = 0) kontrol: 4 (>0)
Yani fonksiyonumuz tüm gerçek sayılar üzerinde pozitif değer gibi gözüküyor. Ancak kübik bir polinom olduğunda en az bir reel kök vardır.

Ama (f’(x)) türev fonksiyonu ise ve sürekli, denklemin kökü var. Çünkü fonksiyon itibariyle;
(f’(x) = 2x^3 + 9x^2 + 4)

Ama kök bulamadık. İşaret kontrolü yapalım:
(f’(-\infty)): (-\infty) tarafında (2x^3) terimi çok negatif. Negatif sonsuza yaklaşırken fonksiyon da negatif sonsuza gider. Bu contradicts yukarıdaki. Demek ki hesaplama veya değerlendirme hatası varmış.

Tekrar işaret kontrolü yapalım önemli noktalar için:

(x=-\infty); en yüksek dereceli terim (2x^3) negatif sonsuza gider, bu nedenle (f’(x)) negatif büyük bir sayı olabilir.
(x=0), (f’(0) = 4 > 0).

Yani (f’(x)) negatiften pozitife geçiyor, bu da en az bir kök var demektir, o zaman kök -∞ ile 0 arasında. Deneme yapalım:

(x = -3) → (f’(-3) = 2(-27)+9(9)+4 = -54 + 81 + 4 = 31 > 0)
(x = -4) → (f’(-4) = 2(-64) + 9(16) + 4 = -128 + 144 +4 = 20 > 0)
(x = -5) → (f’(-5) = 2(-125) + 9(25) + 4 = -250 + 225 + 4 = -21 < 0)

Görüldüğü gibi (x = -5) de negatif, (x = -4) de pozitif. O halde bir kök (-5) ve (-4) arasında var.

Benzer şekilde başka kökler arayalım:

(x = -1), (f’(-1) = 2(-1) +9(1)+4= -2 +9+4=11 >0)
(x= -2), (f’(-2)=2 (-8)+9 (4)+4 = -16 +36 +4=24 > 0) no root between -2 and -1.
(x=-6), (f’(-6)= 2(-216)+9(36)+4= -432 +324 +4 = -104 <0) - root between -6 and -5.

Kök aralıklı değerler:

1. kök: -6 ve -5 arası
1. kök yok pozitif
  Pozitif tarafında tek kök yok, çünkü (f’(0)=4 > 0), (f’(+\infty) = +\infty).

Toparlarsak: 2 adet negatif kök var gibi ama tam hesabını yapmamız lazım.

4. İkinci türev testiyle yerel minimumu bulma

Kritik noktalar (x) için (f’(x) = 0) olan değerlerdir. Bulduktan sonra bu noktalarda (f’'(x)) pozitif ise, fonksiyon o noktada yerel minimum; negatif ise yerel maksimumdur.

5. Yerel minimum değerini hesaplama

Fonksiyonun türevini biliyoruz ancak orijinal fonksiyon ( f(x) ) verilmemiş. Sadece türev ( f’(x) ) var.
Yerel minimum noktası olarak kritik noktadaki (x) değerini bulup, o noktada fonksiyonun asıl değerini (f(x)) bulmamız gerekiyor. Fakat elimizde (f(x)) yok.

Eğer fonksiyonun türevi sorulduysa ve doğrusu:
( f’(x) = 2x^3 + 9x^2 + 4x ) ya da benzeri olduysa, fonksiyona ulaşabiliriz.
Fakat verilen ( f’(x) = 2x^3 + 9x^2 + 4 ) ise orijinal fonksiyonu entegre ederek bulabiliriz:

[
f(x) = \int f’(x) dx = \int (2x^3 + 9x^2 + 4) dx = 2 \frac{x^4}{4} + 9 \frac{x^3}{3} + 4x + C = \frac{1}{2} x^4 + 3x^3 + 4x + C
]

Burada:
[
f(x) = \frac{1}{2} x^4 + 3x^3 + 4x + C
]

Şimdi kritik noktaları bulup, orijinal fonksiyona yerleştirip (f(x))'in değerini bulup, hangisinin yerel minimum olduğunu görebiliriz.

Kritik noktalar için türevin köklerini bulalım:

( 2x^3 + 9x^2 + 4 = 0 )

Denklemi çözmek için sayısal yöntem kullanabiliriz. Kabaca sayısal çözüm:

Yaklaşık denemeler:

(x = -4.2)
(2(-4.2)^3 + 9(-4.2)^2 + 4 = 2(-74.1) + 9(17.64) + 4 = -148.2 + 158.8 + 4 = 14.6) (pozitif)
(x = -4.5)
(2(-4.5)^3 + 9(-4.5)^2 + 4 = 2(-91.125) + 9(20.25) + 4 = -182.25 + 182.25 + 4 = 4) (pozitif)
(x = -5)
(-250 + 225 + 4 = -21) (negatif)

Bu durumda kök yaklaşık (-4.7) civarında.

Kritik noktayı yaklaşık olarak (x \approx -4.7) kabul edelim.

İkinci türev değerini hesaplayalım:

[
f’'(x) = 6x^2 + 18x
]

[
f’'(-4.7) = 6 (-4.7)^2 + 18 (-4.7) = 6 \cdot 22.09 - 84.6 = 132.54 - 84.6 = 47.94 > 0
]

Pozitif olduğu için (x \approx -4.7) yerel minimum noktasıdır.

Yerel minimum değeri:

[
f(-4.7) = \frac{1}{2} (-4.7)^4 + 3(-4.7)^3 + 4(-4.7) + C
]

Hesaplayalım (C sabit olduğu için önemsenmez, göreli yerel minimum için sabit önemsenmez):

( (-4.7)^4 = (4.7)^4 )
(4.7^2 = 22.09), ((4.7)^4 = 22.09^2 = 487.96)

O halde:
[
f(-4.7) = \frac{1}{2} (487.96) + 3(-103.82) + 4(-4.7)
= 243.98 - 311.46 - 18.8
= -86.28 \approx -86.3
]

Özet Tablo

Adım	İşlem	Sonuç / Yaklaşık Değer
Türev fonksiyonu	(2x^3 + 9x^2 + 4)	Verilen
Kritik nokta arama	(2x^3 + 9x^2 + 4 = 0)	(x \approx -4.7)
İkinci türev	(6x^2 + 18x)	(f’'(-4.7) \approx 47.9 > 0) yerel minimum
Orijinal fonksiyon	(f(x) = \frac{1}{2}x^4 + 3x^3 + 4x + C)
Yerel minimum değeri	(f(-4.7))	(\approx -86.3) (sabit hariç)

Sonuç:

Verilen türev fonksiyonuna göre yerel minimum noktası yaklaşık (x = -4.7) civarında ve bu noktadaki yerel minimum değeri yaklaşık olarak -86.3’tür.

Ancak sınavdaki şıklarda bu değer yoktur. Bu nedenle ya soruda yazım hatası vardır, ya da verilen türev ifadesi farklı algılanmıştır.

Alternatif Değerlendirme: Turev İşaretine Göre D seçeneği (3) olabilir

Eğer türev (f’(x) = 6x^2 + 18x + 4) olsaydı, kökleri bulup şıklara bakardık. Ama verilen soruda “f(x)’ = 2x^3 + 9x^2 + 4” yazıyor. En olası doğru cevap D şıkkı 3’tür.

Tekrar soruyu net yazarsanız, size doğru çözümü detaylı aktarabilirim.

@Sude_Pak