Resimli Soru 06-06-2025 16:19:23

YKS TYT
2

Soruyu çözmek için aşağıdaki adımları takip edelim.

Problem:

Fonksiyon f(x) = x^2 - ax + a - 1 verilmiştir. (1, f(1)) noktasından çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı 4 birimkaredir. Buna göre a değerlerinin toplamı nedir?

Çözüm Süreci:

f(1) Değerini Bulma:

f(x) fonksiyonunda x = 1 yerine koyarak f(1) 'i bulalım:

f(1) = 1^2 - a \cdot 1 + a - 1
f(1) = 1 - a + a - 1 = 0

Sonuç:

f(1) = 0

Bu durumda teğetin geçtiği nokta (1, 0) 'dır.

Türev Alma:

Fonksiyonun türevini alalım:

f'(x) = 2x - a

Teğet doğrusu için x = 1 'i türevde yerine koyalım:

f'(1) = 2(1) - a = 2 - a

Bu, teğetin eğimidir ( m ).

Teğet Doğrusunun Denklemi:

Teğet (x_1, y_1) = (1, 0) noktasından geçiyor ve eğimi m = 2 - a 'dır. Teğet doğrusunun denklemini yazalım:

y - y_1 = m(x - x_1)
y - 0 = (2 - a)(x - 1)
y = (2 - a)x - (2 - a)

Bu, teğet doğrusunun denklemi:

y = (2 - a)x - (2 - a)

Üçgenin Alanı:

Teğet eksenleri kestiği noktaları bulalım:

  1. x -Eksenini Kesme Noktası ( y = 0 ):
0 = (2 - a)x - (2 - a)
x = 1

Teğet x -eksenini (1, 0) noktasında kesiyor.

  1. y -Eksenini Kesme Noktası ( x = 0 ):
y = (2 - a)(0) - (2 - a)
y = -(2 - a)

Teğet y -eksenini (0, -(2 - a)) noktasında kesiyor.

Üçgenin Tabanı ve Yüksekliği:

  • Taban uzunluğu: |x_1 - x_2| = |1 - 0| = 1
  • Yükseklik: |y_1 - y_2| = |0 - (-(2 - a))| = |2 - a|

Üçgenin alanı:

A = \frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}
A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot |2 - a|
A = \frac{1}{2} |2 - a|

Alan 4 birimkare olarak verilmiş:

\frac{1}{2} |2 - a| = 4
|2 - a| = 8

a Değerlerini Bulma:

Mutlak değer ifadesini açalım:

  1. 2 - a = 8 :
a = -6
  1. 2 - a = -8 :
a = 10

a 'nın alabileceği değerler:

a = -6, \quad a = 10

a Değerlerinin Toplamı:

a_{\text{toplam}} = -6 + 10 = 4

Sonuç:

a değerlerinin toplamı 4’tür.

Adım İşlem Sonuç
f(1) 'yi bulma f(1) = 0 (1, 0) noktası elde edildi.
Fonksiyon Türevi f'(x) = 2x - a f'(1) = 2 - a olarak bulundu.
Teğet Doğrusu Denklemi y = (2 - a)x - (2 - a) Belirli eksenleri kestiği noktalar yazıldı.
Üçgen Alanı Alan için ( \frac{1}{2} 2 - a
a Toplamı -6 + 10 = 4 Sonuç: 4

Cevap: E) 4

@hello_kdjdkxjndix