Soruyu çözmek için aşağıdaki adımları takip edelim.
Problem:
Fonksiyon f(x) = x^2 - ax + a - 1 verilmiştir. (1, f(1)) noktasından çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı 4 birimkaredir. Buna göre a değerlerinin toplamı nedir?
Çözüm Süreci:
f(1) Değerini Bulma:
f(x) fonksiyonunda x = 1 yerine koyarak f(1) 'i bulalım:
Sonuç:
Bu durumda teğetin geçtiği nokta (1, 0) 'dır.
Türev Alma:
Fonksiyonun türevini alalım:
Teğet doğrusu için x = 1 'i türevde yerine koyalım:
Bu, teğetin eğimidir ( m ).
Teğet Doğrusunun Denklemi:
Teğet (x_1, y_1) = (1, 0) noktasından geçiyor ve eğimi m = 2 - a 'dır. Teğet doğrusunun denklemini yazalım:
Bu, teğet doğrusunun denklemi:
Üçgenin Alanı:
Teğet eksenleri kestiği noktaları bulalım:
- x -Eksenini Kesme Noktası ( y = 0 ):
Teğet x -eksenini (1, 0) noktasında kesiyor.
- y -Eksenini Kesme Noktası ( x = 0 ):
Teğet y -eksenini (0, -(2 - a)) noktasında kesiyor.
Üçgenin Tabanı ve Yüksekliği:
- Taban uzunluğu: |x_1 - x_2| = |1 - 0| = 1
- Yükseklik: |y_1 - y_2| = |0 - (-(2 - a))| = |2 - a|
Üçgenin alanı:
Alan 4 birimkare olarak verilmiş:
a Değerlerini Bulma:
Mutlak değer ifadesini açalım:
- 2 - a = 8 :
- 2 - a = -8 :
a 'nın alabileceği değerler:
a Değerlerinin Toplamı:
Sonuç:
a değerlerinin toplamı 4’tür.
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| f(1) 'yi bulma | f(1) = 0 | (1, 0) noktası elde edildi. |
| Fonksiyon Türevi | f'(x) = 2x - a | f'(1) = 2 - a olarak bulundu. |
| Teğet Doğrusu Denklemi | y = (2 - a)x - (2 - a) | Belirli eksenleri kestiği noktalar yazıldı. |
| Üçgen Alanı | Alan için ( \frac{1}{2} | 2 - a |
| a Toplamı | -6 + 10 = 4 | Sonuç: 4 |
Cevap: E) 4
Sorunuz:
“f(x) = x² – ax + a – 1 fonksiyonu, (1, f(1)) noktasından çizilen teğetin koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı 4 birim² olduğuna göre, a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?”
Cevap:
İçindekiler
1. Problemin Özeti
Verilen fonksiyon
$
f(x) = x^2 - ax + (a - 1)
$
üzerinde yer alan (1, f(1)) noktasından çizilen teğet, x ve y eksenleriyle bir üçgen oluşturmaktadır. Bu üçgenin alanı 4 birim² olduğuna göre, a parametresinin alabileceği değerlerin toplamı istenmektedir.
2. Gerekli Adımlar ve Tanımlar
- Fonksiyon değeri: f(1)
- Türev (f’(x)): Teğetin eğimini bulmak için
- Teğet denklemi: Nokta-eğim formülüyle elde edilecek
- Eksen kesişimleri: x-ekseninde y=0, y-ekseninde x=0
- Üçgen alanı: Eksen kesişim değerleri kullanılarak hesaplanacak
3. Adım Adım Çözüm
3.1. f(1) Noktasını Bulma
Öncelikle (1, f(1)) noktasını hesaplayalım:
$
\displaystyle f(1) ;=; 1^2 ;-; a \cdot 1 ;+; (a - 1)
;=; 1 - a + a - 1
;=; 0
$
Dolayısıyla, fonksiyonun (1, 0) noktasından geçtiği anlaşılır.
3.2. Türev ve Teğet Doğrusu Denklemi
Fonksiyonun türevi:
$
f’(x) = 2x - a
$
Teğet çizileceği x değeri 1 olduğundan,
$
f’(1) = 2(1) - a = 2 - a.
$
Teğet denklemi (Nokta-Eğim formu) şu şekildedir:
$
y - f(1) ;=; f’(1),(x - 1)
\quad\Longrightarrow\quad
y - 0 ;=; (2 - a),(x - 1).
$
Dolayısıyla teğet denklemi:
$
y = (2 - a)x - (2 - a).
$
3.3. Eksen Kesişimleri
-
y-Ekseni Kesişimi (x=0):
$
y = (2 - a)\cdot 0 - (2 - a) = -(2 - a) = a - 2.
$Bu noktada kesişim (0, a - 2) olur.
-
x-Ekseni Kesişimi (y=0):
$
0 = (2 - a)x - (2 - a).
$Eğer (2 - a) \neq 0, her iki tarafı $(2 - a)$’ya böldüğümüzde x = 1 elde ederiz. Bu kesişim (1, 0) olup aslında teğetle fonksiyonun buluştuğu noktadır.
Eksenlerle üçgeni oluşturan köşeler:
(0, 0), (1, 0) ve (0, a-2).
3.4. Üçgen Alanının Hesaplanması
Oluşan üçgenin tabanı (1, 0) - (0, 0) arası 1 birim ve yüksekliği de |a-2| kadardır. Bir üçgenin alanı:
$
\displaystyle \text{Alan} ;=; \frac{1}{2} \times (\text{Taban}) \times (\text{Yükseklik}).
$
Bu problemde taban = 1; yükseklik = |a - 2|. Veri olarak alanın 4 olduğu bilindiğinden:
$
\displaystyle 4 ;=; \frac{1}{2} \times 1 \times |a - 2| ;\Longrightarrow; |a - 2| = 8.
$
Buradan iki farklı a değeri çıkar:
$
a - 2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad a = 10
$
2.
$
a - 2 = -8 \quad\Longrightarrow\quad a = -6
$
3.5. a Değerlerinin Bulunması ve Toplamı
İki olası a değeri 10 ve -6 bulunur. Bu değerlerin toplamı:
$
10 + (-6) = 4.
$
Dolayısıyla, a’nın alabileceği değerlerin toplamı 4 olarak elde edilir.
4. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç / Denklem |
|---|---|---|
| 1. f(1) Hesaplama | f(1) = 1 - a + a - 1 | f(1) = 0 |
| 2. Türev Alma | f’(x) = 2x - a | f’(1) = 2 - a |
| 3. Teğet Denklemi | y - 0 = (2 - a)(x - 1) → y = (2 - a)x - (2 - a) | – |
| 4. Eksen Kesişimleri | (0, a - 2) ve (1, 0) | Üçgen köşeleri |
| 5. Alan Hesabı | Alan = (1/2) × 1 × | a - 2 |
| 6. Değer Toplamı | 10 + (-6) = 4 | Cevap: 4 |
5. Kısa Özet
(1, f(1)) = (1, 0) noktasındaki teğetin denklemi y = (2 - a)x - (2 - a) formundadır. Bu doğru, koordinat eksenlerini (0, a-2) ve (1, 0) noktalarında keser. Böylece tabanı 1, yüksekliği |a-2| olan bir üçgen oluşur ve alanı 4’tür. Dolayısıyla |a-2| = 8 bulunur, buradan a = 10 veya a = -6 değerleri gelir. Aranan değerlerin toplamı 10 + (-6) = 4’tür.