Buna göre x kaçtır?
Kullanılan formüller:
- 4 · |x| = -x · y
- 5 · |y| = y · z
- |x - y - 7| = 5
Çözüm Adımları:
Adım 1 — İlk eşitlikten işaret bilgisi bulalım
Verilen:
Sol taraf her zaman 0 veya pozitiftir. Bu yüzden sağ taraf da pozitif olmalı.
Yani x ve y zıt işaretlidir.
Adım 2 — İkinci eşitlikten y’nin işaretini bulalım
Verilen:
Sol taraf her zaman 0 veya pozitiftir, demek ki:
Yani y ve z aynı işaretlidir.
Soruda ayrıca:
verilmiş.
- xy<0
- yz>0
Buradan y ve z aynı işaretli olduğuna göre, x ile y zıt işaretli olmalı.
O hâlde z ile x de zıt işaretli olur.
Adım 3 — İlk iki eşitliği oranlayalım
xy<0 olduğundan -xy=|x||y| gibi düşünebiliriz. Daha net yazalım:
Eğer x ve y zıt işaretliyse,
olur. O hâlde:
x\neq 0 olduğundan |x| sadeleşir:
Demek ki:
Adım 4 — İkinci eşitlikten z’yi bulalım
|y|=4 olduğuna göre y=4 veya y=-4.
Ama xy<0 olduğundan ve son eşitlikte işaretleri kontrol ettiğimizde uygun çözümden y=4 alınırsa z=5 olur.
Adım 5 — Mutlak değerli eşitliği kullanalım
y=4 için:
Buradan iki durum gelir:
-
x-11=5 \Rightarrow x=16
-
x-11=-5 \Rightarrow x=6
Şıklarda bunlar yok. Demek ki işaret seçimini yeniden kontrol etmeliyiz.
Adım 6 — Doğru işaret seçimi
y=-4 alırsak:
Bu durumda xy<0 olması için x>0 olmalı. Ayrıca
olduğundan:
bu sağlanır.
Şimdi:
Buradan:
-
x-3=5 \Rightarrow x=8
-
x-3=-5 \Rightarrow x=-2
Ama x>0 olmalıydı, bu yüzden:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Mutlak Değer
- Tanım: Bir sayının 0’a uzaklığıdır.
- Bu problemde: Mutlak değerli denklemden iki olasılık yazıldı.
2. İşaret Analizi
- Tanım: Çarpımların pozitif/negatif olmasına göre değişkenlerin işaretini bulma yöntemidir.
- Bu problemde: xy<0 ve yz>0 bilgileri kullanıldı.
Sık Yapılan Hatalar:
İşaretleri kontrol etmeden işlem yapmak
- Yanlış: Doğrudan y=4 alıp devam etmek.
- Doğru: Önce çarpımların işaretini incelemek.
- Neden yanlış: Mutlak değerli sorularda birden fazla işaret durumu olabilir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Verilen eşitliklere göre x’in değeri nedir?
Verilenler:
x, y ve z gerçek sayılar olup eşitlikler
4|x| = -xy
|y| = yz
|x - y - 7| = 5
sağlanmaktadır.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Seçenek A’yı analiz et (x = 12)
x = 12 > 0 olduğundan |x| = 12.
Birinci eşitlik: 4 \times 12 = -12 y ⇒ 48 = -12 y ⇒ y = -4.
İkinci eşitlik: |-4| = (-4) z ⇒ 4 = -4 z ⇒ z = -1.
Üçüncü eşitlik: |12 - (-4) - 7| = |12 + 4 - 7| = |9| = 9 \neq 5.
Yanlış.
Adım 2 — Seçenek B’yi analiz et (x = 8)
x = 8 > 0 olduğundan |x| = 8.
Birinci eşitlik: 4 \times 8 = -8 y ⇒ 32 = -8 y ⇒ y = -4.
İkinci eşitlik: |-4| = (-4) z ⇒ 4 = -4 z ⇒ z = -1.
Üçüncü eşitlik: |8 - (-4) - 7| = |8 + 4 - 7| = |5| = 5.
Doğru.
Adım 3 — Seçenek C’yi analiz et (x = 4)
x = 4 > 0 olduğundan |x| = 4.
Birinci eşitlik: 4 \times 4 = -4 y ⇒ 16 = -4 y ⇒ y = -4.
İkinci eşitlik: z = -1 (aynı).
Üçüncü eşitlik: |4 - (-4) - 7| = |4 + 4 - 7| = |1| = 1 \neq 5.
Yanlış.
Adım 4 — Seçenek D’yi analiz et (x = -2)
x = -2 < 0 olduğundan |x| = 2.
Birinci eşitlik: 4 \times 2 = -(-2) y ⇒ 8 = 2 y ⇒ y = 4.
İkinci eşitlik: |4| = 4 z ⇒ 4 = 4 z ⇒ z = 1.
Üçüncü eşitlik: |-2 - 4 - 7| = |-13| = 13 \neq 5.
Yanlış.
Adım 5 — Seçenek E’yi analiz et (x = -5)
x = -5 < 0 olduğundan |x| = 5.
Birinci eşitlik: 4 \times 5 = -(-5) y ⇒ 20 = 5 y ⇒ y = 4.
İkinci eşitlik: z = 1 (aynı).
Üçüncü eşitlik: |-5 - 4 - 7| = |-16| = 16 \neq 5.
Yanlış.
Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
B) 8 — Tüm eşitlikleri sağlar (y = -4, z = -1).
A) 12 — Üçüncü eşitlik 9 verir.
C) 4 — Üçüncü eşitlik 1 verir.
D) -2 — Üçüncü eşitlik 13 verir.
E) -5 — Üçüncü eşitlik 16 verir.
Adım 7 — Son Doğrulama
Birinci eşitlikten genel olarak y = -4 \cdot \frac{|x|}{x} = -4 \cdot \operatorname{sgn}(x).
x > 0 için y = -4, |x - (-4) - 7| = |x - 3| = 5 ⇒ x = 8 (x = -2 < 0 çelişkili).
x < 0 için y = 4, |x - 11| = 5 ⇒ x = 16 veya 6 (ikisi de > 0 çelişkili).
Sadece x = 8 tutarlıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?