Çözüm:
1 birimlik eşkenar üçgenlerle oluşturulan yapı, satır satır büyüyen bir üçgensel düzen içeriyor.
Alt satırda 11 adet küçük üçgen olduğuna göre, üst satırlardaki üçgen sayıları da sırasıyla:
1 + 2 + 3 + … + 11
olur.
Toplam üçgen sayısı
Bu bir ardışık doğal sayılar toplamıdır:
Ancak şeklin içinde bazı üçgenler büyük üçgen oluşturacak şekilde birleştiği için, soru kullanılan 1 birim kenarlı eşkenar üçgen sayısını soruyor. Şekildeki düzen, üst üste dizilmiş üçgensel katmanlar hâlindedir ve toplam küçük üçgen sayısı:
gibi görünse de, resimdeki yapı tam dolu bir büyük üçgen değil; ortası boş bırakılmış bir modeldir.
Bu tip soruda dikkat edilmesi gereken nokta, en alt satırdaki 11 üçgenin verdiği düzenin toplam küçük üçgen sayısının seçeneklerle uyumlu olmasıdır.
Şekildeki yapıda katman sayısı ve düzen incelendiğinde toplam kullanılan küçük eşkenar üçgen sayısı:
olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Kısa Not:
Bu soruda en önemli nokta, şekli satır satır saymak ve simetrik düzeni doğru yorumlamaktır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Verilen Yapıda Kullanılan Küçük Eşkenar Üçgen Sayısı
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Seçenek A Analizi (25)
25 sayısı, ilk 5 tek sayının toplamıdır: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Bu, en altta 9 adet üçgen olan 5 sıralı bir yapıya karşılık gelir (2 \times 5 - 1 = 9). Ancak soruda en alt sırada 11 adet belirtilmiş, bu uyuşmaz.
Adım 2 — Seçenek B Analizi (30)
30, standart üçgen sayı dizilerinde doğal bir toplam değildir (1+2+\dots+7=28, 1+2+\dots+8=36). Alt satır için belirli bir kurala uymaz ve 11 ile ilişkili değildir.
Adım 3 — Seçenek C Analizi (36)
36, ilk 6 tek sayının toplamıdır: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.
Tek sayıların toplamı kare verir: ilk 6 tek sayı \rightarrow 6^2 = 36.
En alt satır: 2 \times 6 - 1 = 11 adet, soruya tam uyumlu.
Adım 4 — Seçenek D Analizi (42)
42, 1+2+\dots+9=45’e yakın ancak tam değil. Tek sayı toplamı olarak uymaz (ilk 6:36, ilk 7:49). Alt satır 11 için mantıksız.
Adım 5 — Seçenek E Analizi (49)
49 =7^2, ilk 7 tek sayının toplamı: 1+3+\dots+13=49. En alt satır 13 adet olur (2\times7-1=13), 11’den fazla.
Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
C. 36 — Alt satır 11’e uyumlu, 6 sıralı yapı: toplam 6^2=36.
A. 25 — Alt satır 9’a uyar, sıralar az.
B. 30 — Diziye uymaz.
D. 42 — Standart toplam değil.
E. 49 — Alt satır 13’e uyar, fazla.
Adım 7 — Son Doğrulama
Yapı, üstten alta doğru sıralarda 1, 3, 5, 7, 9, 11 adet eşkenar üçgen içerir (her sıra 2 fazla). Bu, merkezden genişleyen piramit oluşturur ve toplam 36’dır. Şekildeki yükseklik (yaklaşık 6 sıra) ile uyumludur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tek Sayı Toplamı
- Tanım: İlk k tek sayının toplamı k^2’dir: $$\sum_{i=1}^{k} (2i-1) = k^2$$
- Bu problemde: k=6, 6^2=36, alt sıra 11=2\cdot6-1.
2. Üçgen Piramit Yapısı
- Tanım: Eşkenar üçgenler sıralı dizilir, her alt sıra 2 fazla üçgen içerir.
- Bu problemde: Alt satır m=11 → sıra sayısı (m+1)/2=6, toplam 36.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dik Üçgen Sayma Hatası
- Yanlış: 1+2+3+\dots+11=66 saymak (doğrusal artış).
- Doğru: Tek sayı artışı (+2), 1,3,\dots,11.
- Neden yanlış: Şekil genişleme deseni göz ardı edilir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?