Soru: 150 kurşun kalem ve 120 silgi kaç öğrenciye dağıtılabilir?
Kullanılan Kural: Her öğrenciye verilen kurşun kalem sayısı ile silgi sayısı eşit olmalı, her iki sayı da 3 ile 10 arasında olmalı ve tüm ürünler eksiksiz dağıtılmalı.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Öğrenci başına verilecek miktarı tanımlayalım
Her öğrenciye:
- k tane kurşun kalem
- s tane silgi verilsin.
Verilen bilgiye göre:
- 3 \le k \le 10
- 3 \le s \le 10
Ve tüm ürünler dağıtıldığı için:
- Öğrenci sayısı n olsun.
- 150 = n \cdot k
- 120 = n \cdot s
Adım 2 — Öğrenci sayısı her iki sayıyı da bölmeli
O hâlde n, hem 150’yi hem 120’yi bölmelidir.
Yani n, 150 ve 120’nin ortak böleni olmalı.
Adım 3 — Bölüm değerlerini inceleyelim
150 / n = k ve 120 / n = s olacak.
İki sayı da 3 ile 10 arasında olmalı:
- 150 / n \in [3,10]
- 120 / n \in [3,10]
Buna göre uygun ortak bölenleri kontrol edelim:
- n = 15 ise
150 / 15 = 10, 120 / 15 = 8 → uygun - n = 20 ise
150 / 20 = 7{,}5 → uygun değil - n = 25 ise
150 / 25 = 6, 120 / 25 = 4{,}8 → uygun değil - n = 30 ise
150 / 30 = 5, 120 / 30 = 4 → uygun - n = 40 ise
150 / 40 = 3{,}75 → uygun değil
Uygun öğrenci sayıları:
- 15
- 30
Adım 4 — Toplamı bulalım
15 + 30 = 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Ortak Bölen
- Tanım: İki sayıyı da kalansız bölen sayı.
- Bu problemde: Öğrenci sayısı hem 150’yi hem 120’yi kalansız bölmelidir.
2. Bölme Kuralı
- Tanım: Toplam eşit paylara ayrıldığında, her payın tam sayı olması gerekir.
- Bu problemde: Her öğrenciye verilen kalem ve silgi sayıları tam sayı olmalıdır.
Sık Yapılan Hata:
Sadece bir sayıyı kontrol etmek
- Yanlış: Sadece 150’ye bölen öğrenci sayılarını almak.
- Doğru: Hem 150’yi hem 120’yi bölen ve ayrıca 3–10 aralığını sağlayan değerleri almak.
- Neden yanlış: İki ürün de aynı anda eksiksiz dağıtılmalıdır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
150 kurşun kalem ve 120 silgi eşit şekilde öğrencilere dağıtılacak. Olası öğrenci sayılarının toplamı nedir?
KULLANILAN YÖNTEM: Öğrenci sayısı n, 150 ve 120’nin ortak böleni olmalı. p = 150/n ve s = 120/n tam sayı olup 3 ≤ p, s ≤ 10 aralığında kalmalı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların asal çarpanlarına ayırma
150 = 2 × 3 × 5²
120 = 2³ × 3 × 5
OBP (30) = 2 × 3 × 5
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Adım 2 — Her ortak bölen için p ve s kontrolü
- n=1: p=150, s=120 → Her ikisi >10
- n=2: p=75, s=60 → >10
- n=3: p=50, s=40 → >10
- n=5: p=30, s=24 → >10
- n=6: p=25, s=20 → >10
- n=10: p=15, s=12 → >10
- n=15: p=10, s=8 → 3-10 arası
- n=30: p=5, s=4 → 3-10 arası
Adım 3 — Olası öğrenci sayıları ve toplam
Olası n değerleri: 15 ve 30
Toplam = 15 + 30 = 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 45 (Seçenek D)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Bölen (OB)
- Tanım: İki sayıyı tam bölen sayılar. OBP en büyüğüdür.
- Bu problemde: 150 ve 120’nin OBP’si 30’dur. Tüm OB’ler 30’un bölenleridir.
2. Kısıtlı Aralıkta Bölme
- Tanım: Bölme sonucu belirli aralıkta (burada 3-10) kalmalı.
- Bu problemde: n büyüdükçe p ve s küçülür, sadece 15 ve 30 uyar.
SIK YAPILAN HATALAR:
1’i veya küçük n’leri dahil etmek
- Yanlış: n=1,3 gibi değerleri aralığa uymasına rağmen eklemek.
- Doğru: Önce p ve s aralığını kontrol et.
- Neden yanlış: Tam sayı ve aralık şartı ihlal eder.
Sınır değerleri unutmak
- Yanlış: 10’u >10 saymak veya 3’ü kabul etmemek.
- Doğru: 3 ≤ … ≤ 10 kapalı aralık, tam sayı.
- Neden yanlış: n=15’te p=10 kabul edilir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili benzer bir pratik problem çözümü ister misin?