Bu soruda ekran parlaklığı her dokunuşta 6 durumluk döngü ile değişiyor:
Kapalı → %20 → %40 → %60 → %80 → %100 → Kapalı
Başlangıçta ekran kapalı.
- x kez dokununca ekran %40 oluyor.
- Sonra y kez daha dokununca ekran %20 oluyor.
- Son olarak z kez daha dokununca ekran tekrar kapalı oluyor.
Döngü uzunluğu 6 olduğu için:
-
Kapalıdan %40’a gelmek için
x \equiv 2 \pmod{6} -
%40’tan %20’ye geçmek için
aradaki fark 4 adımdır, yani
y \equiv 4 \pmod{6} -
%20’den kapalıya gelmek için
1 adım gerekir, yani
z \equiv 1 \pmod{6}
Şimdi ifadeleri inceleyelim:
I. x \cdot (y-z)
- y-z \equiv 4-1 = 3 \pmod{6}
- x ise çift olabilir ama kesinlik yok.
- Örneğin x=2, y-z=3 ise çarpım 6 olur, çift.
- Ama kesinlikle çift olduğunu doğrudan söylemek için yeterli değil mi?
Burada daha net bakalım: y-z = 3 + 6k olduğundan tek olabilir; x=2+6m olduğundan çift.
çift × tam sayı = her zaman çift. - O halde I kesinlikle çifttir.
II. 2y-x
- 2y her zaman çifttir.
- x \equiv 2 \pmod{6} olduğundan x çifttir.
- Çift − çift = çift.
- Demek ki II kesinlikle çifttir.
III. x+z
- x çift, z \equiv 1 \pmod{6} olduğundan z tektir.
- Çift + tek = tek.
- Bu yüzden III kesinlikle çift değildir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Tablet Ekran Parlaklığı Döngüsünde x, y, z Dokunmalarla Ulaşılan Durumlar ve İfadelerin Çiftlik Analizi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Seçenek A Analizi
A) Yalnız I der. I: x - (y - z) = x - y + z.
x çift, y tek, z tek olduğundan y - z çift, x - çift = çift. I her zaman çift doğru. Ama II de çift (aşağıda), yani yalnız I değil. Yanlış.
Adım 2 — Seçenek B Analizi
B) Yalnız II der. II: 2y - x.
2y (2×tek=çift) - x (çift) = çift. II her zaman çift doğru. Ama I de çift, yani yalnız II değil. Yanlış.
Adım 3 — Seçenek C Analizi
C) I ve II der. Yukarıda I ve II’nin her zaman çift olduğu gösterildi. III değil (aşağıda). Doğru.
Adım 4 — Seçenek D Analizi
D) II ve III der. II doğru, ama III: x + z = çift + tek = tek. Her zaman tek, çift değil. Yanlış.
Adım 5 — Seçenek E Analizi
E) I, II ve III der. I ve II doğru, III tek olduğu için yanlış. Yanlış.
Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
C. I ve II — Her ikisi de x ≡ 2 (mod 6), y ≡ 5 (mod 6), z ≡ 5 (mod 6) koşullarından çift çıkar.
A. Yalnız I — II’yi dışarıda bırakır.
B. Yalnız II — I’yi dışarıda bırakır.
D. II ve III — III tek.
E. I, II ve III — III hatalı.
Adım 7 — Son Doğrulama
Döngü 6 adımlı: Kapalı(0) → %20(1) → %40(2) → %60(3) → %80(4) → %100(5) → Kapalı(0).
x: 0 + x ≡ 2 (mod 6) → x çift.
2 + y ≡ 1 (mod 6) → y tek.
1 + z ≡ 0 (mod 6) → z tek.
Pariteler I ve II’yi çift, III’yi tek yapar. Tek doğru grup I ve II.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Modüler Aritmetik
- Tanım: Sayıların belirli bir modüle göre kalanlarını karşılaştırma (x \equiv r \pmod{m}).
- Bu problemde: 6’lı döngüde durumlar mod 6 ile belirlenir.
2. Parite (Çift-Tek)
- Tanım: Bir sayının 2’ye bölümünden kalan (çift:0, tek:1).
- Bu problemde: Mod 6 koşullarından parite doğrudan türetilir (6 çift olduğundan etkisiz).
SIK YAPILAN HATALAR:
Mod 6’yı göz ardı edip sadece minimal değer kullanmak
- Yanlış: x=2, y=5, z=5 alıp sadece bu değerle kontrol.
- Doğru: Genel form x=6k+2 (her zaman çift) gibi sonsuz durumları dikkate al.
- Neden yanlış: Tek örnek geneli temsil etmez.
Tüm modülleri karıştırmak
- Yanlış: Mod 2 yerine mod 6 parity hesaplamada hata.
- Doğru: Mod 6 → mod 2’ye indirge (6k çift etkisiz).
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?