Resimli Soru 06-05-2026 11:37:51

YKS TYT
1

IMG_8704
IMG_8704720×960 29.4 KB

2

18. soru: Limit koşulundan a+b+c toplamını bulma

:light_bulb: Kullanılan Formül:
Eğer

f(x)=\frac{P(x)}{x-r}

ve limit sonluysa, payda sıfır olurken pay da sıfır olmalıdır. Yani ilgili noktada payın kökü oluşur.

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — f(x) için limit koşulunu yazalım
Verilen:

f(x)=\frac{x^2-ax+b}{x-2}

\lim_{x\to 2} f(x) sonlu olduğuna göre:

2^2-2a+b=0
4-2a+b=0 \quad \Rightarrow \quad b=2a-4

Adım 2 — g(x) için limit koşulunu yazalım
Verilen:

g(x)=\frac{x^2+2x-c}{x-3}

\lim_{x\to 3} g(x) sonlu olduğuna göre:

3^2+2\cdot 3-c=0
9+6-c=0
15-c=0 \quad \Rightarrow \quad c=15

Adım 3 — Limitlerin eşitliğini kullanalım
Sonlu limitlerde, pay ve payda sadeleşince limitler:

  • f(x) için limit değeri, sadeleşmeden sonra kalan doğrusal ifadenin x=2 değeridir.
  • g(x) için limit değeri, sadeleşmeden sonra kalan doğrusal ifadenin x=3 değeridir.

Daha hızlı yol için polinomları çarpanlarına ayıralım:

x^2-ax+b=(x-2)(x-m)

Buradan sabit terim:

b=2m

ve x katsayısı:

a=2+m

Benzer şekilde:

x^2+2x-c=(x-3)(x-n)

Açarsak:

x^2-(3-n)x-3n

Katsayıları eşitleyelim:

-(3-n)=2 \Rightarrow n=5

Dolayısıyla:

c=3\cdot 5=15

Bu durumda:

\lim_{x\to 2} f(x)=2-m
\lim_{x\to 3} g(x)=3-n

Eşitlik verildiği için:

2-m=3-n
m-n=-1

n=5 olduğundan:

m=4

O halde:

a=2+m=2+4=6
b=2m=2\cdot 4=8
c=15

Adım 4 — Toplamı bulalım

a+b+c=6+8+15=29

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: 29
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

1. Sürekli limit için payın sıfır olması

  • Tanım: Bir rasyonel ifadede payda 0 olurken limit sonluysa, pay da aynı noktada 0 olmalıdır.
  • Bu problemde: x=2 ve x=3 noktalarında bu koşul kullanıldı.

2. Çarpanlara ayırma

  • Tanım: Polinomu köklerini kullanarak (x-r)(x-s) biçiminde yazma işlemidir.
  • Bu problemde: Limit değerlerini bulmayı kolaylaştırdı.

:warning: Sık Yapılan Hatalar:

:cross_mark: Payda sıfırken doğrudan yerine koymak

  • Yanlış: \frac{0}{0} ifadesini doğrudan hesaplamak
  • Doğru: Önce payın da sıfır olduğunu kullanmak
  • Neden yanlış: Belirsizlik oluşur; sadeleştirme gerekir.

:cross_mark: Eşit limit koşulunu kullanmadan yalnızca katsayıları çözmek

  • Yanlış: Sadece b=2a-4 ve c=15 bulup kalmak
  • Doğru: İki limitin eşitliğinden ek bir denklem elde etmek
  • Neden yanlış: Tek başına yeterli değildir.

İstersen bu sorunun kısa pratik çözümünü de yazabilirim. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Odak AYT Deneme Sınavı - f ve g Fonksiyonları için Limit Eşitliği Altında a + b + c Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Çıkarılabilir süreksizlik için sayaç(x=denom sıfır noktası)=0 koşulu ve 0/0 belirsiz formda L’Hôpital kuralı:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(x) için çıkarılabilir süreksizlik koşulu
Payda x=2’de sıfır olduğundan, pay x=2’de de sıfır olmalı:

(2)^2 - a(2) + b = 0
4 - 2a + b = 0
b = 2a - 4

Adım 2 — g(x) için çıkarılabilir süreksizlik koşulu
Payda x=3’te sıfır:

(3)^2 + 2(3) - c = 0
9 + 6 - c = 0
c = 15

Adım 3 — \lim_{x \to 2} f(x) hesaplama
0/0 formu, L’Hôpital uygula:
Pay türevi: 2x - a, payda türevi: 1

x=2 \to 2(2) - a = 4 - a

Adım 4 — \lim_{x \to 3} g(x) hesaplama
Pay türevi: 2x + 2, payda: 1

x=3 \to 2(3) + 2 = 6 + 2 = 8

Adım 5 — Limit eşitliği

4 - a = 8
a = 4 - 8 = -4

Adım 6 — b bulma

b = 2(-4) - 4 = -8 - 4 = -12

Adım 7 — Toplam hesaplama

a + b + c = -4 + (-12) + 15 = -16 + 15 = -1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: -1 (B şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Çıkarılabilir Süreksizlik

  • Tanım: Pay ve paydaya ortak (x - k) faktörü varsa, x=k’de limit var ama fonksiyon tanımsız.
  • Bu problemde: x=2 ve x=3’te pay=0 sağlanarak limit hesaplandı.

2. L’Hôpital Kuralı

  • Tanım: 0/0 veya \infty/\infty için türev oranı alınır.
  • Bu problemde: Basit sıfır dereceli olduğundan pay’ türevi doğrudan limit verdi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Payda sıfırını kontrol etmeyi unutmak

  • Yanlış: Direkt yerine koyma, belirsiz 0/0 kalır.
  • Doğru: Önce pay=0 koşulu koy, sonra L’Hôpital.
  • Neden yanlış: Limit var ama süreksizlik tipi anlaşılmaz.

:cross_mark: Türev alırken katsayı hatası

  • Yanlış: g(x) payı için 2x + 2 yerine 2x almak (sabit -c yok saymak).
  • Doğru: x^2 + 2x - c → türev 2x + 2.
  • Neden yanlış: Sabit terim türevi etkilemez ama x katsayısı etkiler.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

Bu konuyla ilgili pratik bir örnek daha ister misin?