Resimli Soru 06-05-2026 11:31:43

YKS TYT
1

IMG_8699
IMG_8699720×960 23.8 KB

2

Bu soruda a değerini bulup, sonra (x-2a)^5 ifadesinin katsayılar toplamını hesaplayacağız.

:light_bulb: Kullanılan Kural: Bir açılımda sabit terim için kuvvetler toplamı 0 olmalı.
Ayrıca bir ifadenin katsayılar toplamı, değişkene 1 yazılarak bulunur.

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Verilen ifadeyi yazalım

\left(x^2+\frac{a}{x}\right)^9

Genel terim:

T_{k+1}=\binom{9}{k}(x^2)^{9-k}\left(\frac{a}{x}\right)^k

Bunu sadeleştirelim:

T_{k+1}=\binom{9}{k}a^k x^{2(9-k)-k} =\binom{9}{k}a^k x^{18-3k}

Adım 2 — Sabit terimi bulalım
Sabit terim için x’in kuvveti 0 olmalı:

18-3k=0
3k=18
k=6

Bu durumda sabit terim katsayısı:

\binom{9}{6}a^6

Adım 3 — x^9’lu terimin katsayısını bulalım
x^9 için:

18-3k=9
3k=9
k=3

Bu terimin katsayısı:

\binom{9}{3}a^3

Adım 4 — Verilen koşulu kullanalım
Soru diyor ki:

sabit terimin katsayısı, x^9’lu terimin katsayısının 8 katıdır.

Yani:

\binom{9}{6}a^6 = 8\binom{9}{3}a^3
84a^6 = 8 \cdot 84 \cdot a^3
84a^6 = 672a^3
a^6 = 8a^3
a^3=8
a=2

Adım 5 — (x-2a)^5 ifadesinin katsayılar toplamı
Katsayılar toplamı için x=1 yazılır:

(1-2a)^5
(1-2\cdot 2)^5=(1-4)^5=(-3)^5
(-3)^5=-243

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: \boxed{-243}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

1. Genel Terim

  • Tanım: Binom açılımında her terim kombinasyonla yazılır.
  • Bu problemde: \left(x^2+\frac{a}{x}\right)^9 açılımından sabit ve x^9’lu terim bulundu.

2. Katsayılar Toplamı

  • Tanım: Çok terimli bir ifadenin katsayılar toplamı için değişkene 1 yazılır.
  • Bu problemde: (x-2a)^5 için x=1 alındı.

:warning: Sık Yapılan Hatalar:

:cross_mark: Sabit terimi yanlış seçmek

  • Yanlış: k değerini deneme-yanılma ile bulmak
  • Doğru: Üsleri eşitleyip 18-3k=0 yazmak
  • Neden yanlış: Açılımda düzenli genel terim bulunmazsa hata yapılır.

:cross_mark: Katsayılar toplamında x=1 yerine başka değer yazmak

  • Yanlış: x=0 veya başka sayı yazmak
  • Doğru: Katsayılar toplamı için her zaman x=1
  • Neden yanlış: Katsayıları toplama özelliği yalnızca x=1 ile bulunur.

İstersen bu sorunun kısa çözümünü ya da benzer 2 tane soru da hazırlayabilirim.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

(x² + a/x)⁹ Açılımında Sabit Terim Katsayısı x⁹ Terim Katsayısının 8 Katı İse (x - 2a)⁵ Katsayılar Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL: Binom teoremi genel terimi

T_{r+1} = \binom{9}{r} (x^2)^{9-r} \left( \frac{a}{x} \right)^r

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Genel terimi yaz

T_{r+1} = \binom{9}{r} x^{2(9-r)} \cdot a^r x^{-r} = \binom{9}{r} a^r x^{18 - 3r}

Adım 2 — Sabit terimi bul (x üssü = 0)
18 - 3r = 0 \implies r = 6
Katsayı: \binom{9}{6} a^6 = 84 a^6 (çünkü \binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84)

Adım 3 — x⁹ terimini bul (x üssü = 9)
18 - 3r = 9 \implies r = 3
Katsayı: \binom{9}{3} a^3 = 84 a^3

Adım 4 — Verilen koşulu uygula
84 a^6 = 8 \times 84 a^3
a^6 = 8 a^3
a^3 (a^3 - 8) = 0 \implies a = 0 veya a^3 = 8 \implies a = 2
(a = 0 açılımı önemsiz kılar, a = 2 alırız)

Adım 5 — Katsayılar toplamını hesapla
(x - 2a)^5 = (x - 4)^5
Katsayılar toplamı: p(1) = (1 - 4)^5 = (-3)^5
(-3)^5 = -3 \times 3^4 = -3 \times 81 = -243

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: -243 (seçeneklerde C muhtemelen işaretli)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Binom Açılımı

  • Tanım: (u + v)^n açılımında terimler \binom{n}{r} u^{n-r} v^r şeklindedir.
  • Bu problemde: Üs eşitlemesi ile sabit ve istenen terimler bulundu (18 - 3r).

2. Katsayılar Toplamı

  • Tanım: Polinom p(x) için katsayılar toplamı p(1) ile bulunur.
  • Bu problemde: (x - 4)^5 için p(1) = (-3)^5 = -243.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üs hesabı yanlış (2r yerine 3r unutulur)

  • Yanlış: x üssünü 18 - 2r sanmak.
  • Doğru: (x^2)^{9-r} = x^{18-2r}, (1/x)^r = x^{-r} → toplam 18 - 3r.
  • Neden yanlış: v terimindeki x^{-1} katsayısı gözden kaçar.

:cross_mark: a = 0 çözümü kabul etmek

  • Yanlış: a=0 ile devam, toplam 1 çıkar.
  • Doğru: Koşul her ikisini de sağlar ama a=0 trivial (sabit ve x⁹ katsayıları sıfır).
  • Neden yanlış: Problem gerçek sayı a için anlamlı çözüm ister.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

Bu konuyla ilgili pratik bir örnek veya quiz ister misin?