Verilen türev grafiğine göre hangi ifadeler kesinlikle doğrudur?
Türev grafiği şu bilgileri veriyor:
- f'(x) = 4 , x < -2 için
- f'(x) = 1 , -2 \le x \le 1 için
- f'(x) = -2 , x > 1 için
Buna göre f'(x) her yerde sabit işaretlidir ve işaret değişimi sadece x=1 civarında pozitiften negatife geçer.
İfade I — İki tane ekstremum noktası vardır
Ekstremum için genelde türevin işaret değiştirmesi gerekir.
Bu grafikte:
- x=-2 noktasında türev pozitiften pozitife geçiyor,
- x=1 noktasında türev pozitiften negatife geçiyor.
Yani sadece x=1 noktasında yerel maksimum vardır.
İki ekstremum noktası yoktur.
I yanlış
İfade II — f(-3)-f(2)=-5
Türev grafiğinden değişim miktarını bulalım:
Aralıkları ayıralım:
- [-3,-2] aralığında f'(x)=4 → alan: 1\cdot 4=4
- [-2,1] aralığında f'(x)=1 → alan: 3\cdot 1=3
- [1,2] aralığında f'(x)=-2 → alan: 1\cdot (-2)=-2
Toplam:
O hâlde:
II doğru
İfade III — (-\infty,-2) aralığında artandır
(-\infty,-2) aralığında türev:
Türev pozitif olduğuna göre fonksiyon bu aralıkta artandır.
III doğru
Sonuç
Doğru olanlar: II ve III
Cevap: E) II ve III
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Verilen türev grafiğine göre f fonksiyonu için doğru ifadeler
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Seçenek A Analizi
A) Yalnız I
İfade I: f fonksiyonunda iki ekstremum noktası vardır. Grafikte f’ = 0 noktaları x = -2 (sıfır geçişi) ve x ≈ 0.67 (0 ile 1 arası sıfır geçişi) olmak üzere iki tane ekstremum vardır (x = -2’de yerel maksimum, x ≈ 0.67’de yerel minimum). I doğrudur. Ancak III de doğru olduğu için bu seçenek yanlıştır.
Adım 2 — Seçenek B Analizi
B) Yalnız II
İfade II: f(-3) - f(2) = -5.
Bu, ∫_{-3}^{2} f’(x) dx’ye eşittir (net alan).
- (-3, -2): f’ > 0, yaklaşık üçgen alan ≈ +2 (yükseklik 4’ten 0’a).
- (-2, 0): f’ < 0, üçgen alan = -\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = -2.
- (0, 1): f’(0) = -2, f’(1) = 1, net alan = -0.5.
- (1, 2): f’(1) = 1’den aşağı, yaklaşık ortalama -0.5, alan ≈ -0.5.
Toplam net alan ≈ +2 - 2 - 0.5 - 0.5 = -1 ≠ -5. II yanlıştır. Seçenek yanlış.
Adım 3 — Seçenek C Analizi
C) Yalnız III
İfade III: (-∞, -2) aralığında f artar. f’ grafiğinde x < -2’de f’ > 0 (pozitif bölge), yani f artar. III doğrudur. Ancak I de doğru olduğu için yanlış.
Adım 4 — Seçenek D Analizi
D) I ve III
I doğru (iki ekstremum), III doğru (sol aralıkta f’ > 0), II yanlış (alan -5 değil). Bu seçenek tam uyumlu.
Adım 5 — Seçenek E Analizi
E) II ve III
II yanlış, III doğru olsa da uyumsuz.
Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
D) I ve III — Grafikte iki f’=0 noktası ve sol aralıkta f’>0 doğrulanır, alan hesabı II’yi çürütür.
A) Yalnız I — III unutulmuş.
B) Yalnız II — Alan -5 değil.
C) Yalnız III — I unutulmuş.
E) II ve III — II yanlış.
Adım 7 — Son Doğrulama
f’ grafiği işaret değişimlerine göre iki ekstremum verir (pozitiften negatife x=-2, negatiften pozitife x≈2/3). Sol bölgede f’>0, artar. Net integral yaklaşık -1’dir, tam -5 değil. Doğru cevap D.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Ekstremum Noktaları
- Tanım: f’(x)=0 veya tanımsız olduğu ve işaret değişimi olan noktalar.
- Bu problemde: x=-2 (maks.), x=2/3 (min.), toplam iki tane.
2. Artma-Azalış
- Tanım: f’>0 artar, f’<0 azalır.
- Bu problemde: x<-2’de f’>0, artar.
Sık Yapılan Hatalar:
Alan Hesabını Unutmak
- Yanlış: f(-3)-f(2)'yi grafikten okumak.
- Doğru: Net imzalı alan hesapla (pozitif/negatif üçgenler).
- Neden yanlış: Sadece mutlak alan toplamak yanıltır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin? Ya da türev grafiğiyle pratik problem mi hazırlayayım?