Verilen soruda (h \circ h)(28) değeri
Kullanılan bilgi:
h(x)=\begin{cases} f(x)+5, & x<0 \\ 2g(x), & x\ge 0 \end{cases}
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Doğrusal fonksiyonun eğimini bulalım
Grafikte g doğrusu 45° ile azaldığı için eğimi:
\,m=-1
Bu yüzden g(x) doğrusu için genel ifade:
g(x)=-x+b
Adım 2 — Verilen eşitliği kullanalım
Soruda:
3\cdot g(-1)=4\cdot g(6)
Yazalım:
g(-1)= -(-1)+b = 1+b
g(6)= -6+b
Yerine koyarsak:
3(1+b)=4(-6+b)
3+3b=-24+4b
3+24=b
b=27
Demek ki:
g(x)=-x+27
Adım 3 — h(28) değerini bulalım
28\ge 0 olduğundan:
h(28)=2g(28)
g(28)=-28+27=-1
O hâlde:
h(28)=2\cdot(-1)=-2
Adım 4 — Şimdi tekrar h uygulayalım
-2<0 olduğu için bu kez:
h(-2)=f(-2)+5
Grafikten parabole bakınca kökler -3 ve -1 olduğundan, ekseni simetrisine göre tepe noktası $x=-2$’dedir ve bu noktada değer -1 olur.
Yani:
f(-2)=-6
O hâlde:
h(-2)= -6+5=-1
Fakat burada dikkat: Soruda istenen (h\circ h)(28) olduğundan, ilk bulduğumuz değer h(28)=-2 idi ve tekrar uygularız:
(h\circ h)(28)=h(-2)=-1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Bileşke Fonksiyon
- Tanım: Bir fonksiyonun çıktısına tekrar aynı ya da başka bir fonksiyon uygulamaktır.
- Bu soruda: Önce h(28), sonra çıkan sonuca tekrar h uygulandı.
2. Parabolün Simetri Ekseni
- Tanım: Köklerin orta noktasından geçen dikey doğrudur.
- Bu soruda: Kökler -3 ve -1 olduğu için simetri ekseni $x=-2$’dir.
Sık Yapılan Hata:
Parçalı fonksiyonda işaret kontrolünü unutmak
- Yanlış: h(28) için yanlışlıkla f(x)+5 kısmını kullanmak
- Doğru: 28\ge 0 olduğu için 2g(x) kısmı kullanılmalı
- Neden yanlış: Parçalı fonksiyonlarda her zaman $x$’in işaretine bakılır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Dik koordinat sisteminde verilen f parabolü ve g doğrusal fonksiyonu için h(28) değeri nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Doğrusal fonksiyon g(x) = mx + b.
Koşul: f(0) = g(0) ⇒ b = g(0).
3 \cdot g(-1) = 4 \cdot g(6).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — g Fonksiyonunun Genel Formunu Yazın
g(x) = mx + b.
g(-1) = -m + b, g(6) = 6m + b.
Koşul: 3(-m + b) = 4(6m + b).
Adım 2 — Koşulu Çözerek b’yi m’ye Bağlayın
3(-m + b) = 4(6m + b)
-3m + 3b = 24m + 4b
3b - 4b = 24m + 3m
-b = 27m
\mathbf{b = -27m}.
Adım 3 — g(x)'i Yeniden Yazın
g(x) = mx - 27m = \mathbf{m(x - 27)}.
Adım 4 — h(28)'i Hesaplayın
x=28 \geq 0 olduğundan h(28) = 2 \cdot g(28).
g(28) = m(28 - 27) = m \cdot 1 = m.
h(28) = 2m.
Adım 5 — Grafikten m Değerini Bulun
Grafikte g(x) doğrusu ile x-ekseni arasında 45° açı var.
Eğim m = \tan 45^\circ = 1.
h(28) = 2 \cdot 1 = 2.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2 (Seçenek D)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Fonksiyon
- Tanım: g(x) = mx + b (m: eğim, b: y-kesim).
- Bu problemde: Koşul ile g(x) = m(x-27) elde edildi.
2. Parçalı Fonksiyon
- Tanım: Farklı aralıklarda farklı ifadeler, h(x) gibi.
- Bu problemde: x \geq 0 için 2g(x) kullanıldı.
3. Eğim (Slope)
- Tanım: Doğrunun x-ekseniyle açısı \theta’ya göre m = \tan \theta.
- Bu problemde: 45^\circ → m=1.
SIK YAPILAN HATALAR:
Koşulu ters uygulamak
- Yanlış: 3g(-1) = 4g(6) yerine toplama yapmak.
- Doğru: Denklem çözümüyle b=-27m.
- Neden yanlış: Aritmetik hata, m=0 sonucuna yol açar.
x=28 için f(x) kullanmak
- Yanlış: Parabolü kullanmak.
- Doğru: x \geq 0 → 2g(x).
- Neden yanlış: Parçalı tanımı okumamak.
Eğim açısını unutmak
- Yanlış: Grafikten m bulmamak.
- Doğru: \tan 45^\circ =1.
- Neden yanlış: Sadece koşulları kullanıp sayısal bulamamak.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?