Soruda verilen integralin değeri
Kullanılan formül:
\int_a^b x\,f^{(3)}(x)\,dx = \left[x f''(x)\right]_a^b - \int_a^b f''(x)\,dx = \left[x f''(x) - f'(x)\right]_a^b
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Parçalı integrasyon uygulayalım
İstenen integral:
Burada
- u=x \Rightarrow du=dx
- dv=f^{(3)}(x)\,dx \Rightarrow v=f''(x)
Bu yüzden:
Adım 2 — İkinci integrali sadeleştirelim
Dolayısıyla:
yani
Adım 3 — Grafikten türev değerlerini okuyalım
Grafikte, y=f'(x) doğrusu üzerinde:
- x=-2 için f'(-2)=1
- x=3 için f'(3)=-4
Ayrıca teğet doğrularından, y=f''(x) değerleri:
- x=-2 için f''(-2)=-1
- x=3 için f''(3)=2
Şimdi yerine yazalım:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Parçalı İntegrasyon
- Tanım: \int u\,dv = uv - \int v\,du
- Bu problemde: x ile f^{(3)}(x) çarpımı olduğundan kullanıldı.
2. Türevlerin Grafikten Okunması
- Tanım: Bir fonksiyonun belirli noktalardaki değerleri grafikten okunabilir.
- Bu problemde: f'(-2), f'(3), f''(-2) ve f''(3) grafikten alındı.
Sık Yapılan Hatalar:
İşaret Hatası
- Yanlış: \left[x f''(x)\right]_{-2}^{3} kısmında alt sınırı yanlış yazmak
- Doğru: 3f''(3)-(-2)f''(-2) şeklinde dikkatli açmak
- Neden yanlış: Eksi işareti ve alt sınır birlikte karışabiliyor.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Dik koordinat sisteminde f ve |f’(x)| fonksiyonlarının grafikleri verilmiş; ∫_{-2}^{3} |f’(x)| , dx integralinin değeri nedir?
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A seçeneğini analiz et
A) -6
|f’(x)| her zaman pozitif veya sıfır olduğundan, integralin değeri negatif olamaz. Bu seçenek yanlıştır.
Adım 2 — B seçeneğini analiz et
B) -3
Yine negatif değer mümkün değildir, çünkü integrand |f’(x)| ≥ 0’dır. Bu seçenek yanlıştır.
Adım 3 — C seçeneğini analiz et
C) 9
Grafikteki |f’(x)| eğrisi altında yatan alanı hesaplayalım. Sol kısım (-2, 0): yaklaşık üçgen alan \frac{1}{2} \times 2 \times h_1. Sağ kısım (0, 3): trapez alan. Toplam alan 9 çıksaydı doğru olurdu, ancak grafik incelendiğinde alan biraz daha büyüktür.
Adım 4 — D seçeneğini analiz et
D) 13
Grafikte |f’(x)| parça parça doğrusal:
- x=-2’de ≈0, x=0’da ≈4 (tepe noktası), x=2’de 2 (işaretli kare), x=3’de ≈2.
Sol kısım (-2’den 0’a): Üçgen, taban 2, yükseklik 4 → alan =\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4.
Sağ kısım (0’dan 3’e): Trapez, yükseklikler 4 ve 2, taban 3 → alan =\frac{4+2}{2} \times 3 = 9.
Toplam: 4 + 9 = 13. Grafikle tam uyumlu.
Adım 5 — E seçeneğini analiz et
E) 16
Alan hesapları 13 verir, 16 fazla büyük (örneğin yükseklik 5 olsaydı yaklaşırdı ama işaretli nokta (2,2) uymaz).
Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
D. 13 — Grafik alan hesabı tam 13 verir (üçgen + trapez).
A. -6 — Negatif imkansız.
B. -3 — Negatif imkansız.
C. 9 — Alan düşük kalır.
E. 16 — Alan yüksek çıkar.
Adım 7 — Son Doğrulama
|f’(x)| grafiğinin geometrik alanı doğrudan integral verir. f(x) grafiği (mavi çizgi) ile tutarlı: değişim hızlarının mutlak değeri toplam y-değişim varyasyonu 13 birim yapar. Hesap doğru.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?