Verilen polinom sorusu
P(x) dördüncü dereceden, baş katsayısı 1 olan bir polinomdur.
Sabit terim = katsayılar toplamı bilgisi, P(1)=P(0) anlamına gelir.
x^2+5 ile kalansız bölünme koşulu, polinomun x^2+5 çarpanını içerdiğini gösterir.
Ayrıca x-2 ile bölümünden kalan 54 olduğuna göre P(2)=54 olur.
İstenen değer P(-2)’dir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Bölünebilme koşulunu yazalım
P(x), x^2+5 ile kalansız bölündüğüne göre:
P(x)=(x^2+5)(x^2+ax+b)
Burada baş katsayı 1 olduğu için ikinci çarpanın da baş katsayısı 1 alınır.
Adım 2 — Sabit terim ile katsayılar toplamını kullanalım
Bir polinomun katsayılar toplamı $P(1)$’dir.
Sabit terimi de $P(0)$’dır.
Verilen bilgiye göre:
P(1)=P(0)
Şimdi polinomu açmadan, çarpan formunda yazalım:
P(0)=5b
P(1)=6(1+a+b)
Çünkü:
P(1)=(1^2+5)(1+a+b)=6(1+a+b)
Eşitlikten:
6(1+a+b)=5b
6+6a+6b=5b
6a+b=-6 \hfill (1)
Adım 3 — P(2)=54 bilgisini kullanalım
P(2)=(2^2+5)(4+2a+b)
P(2)=9(4+2a+b)=54
4+2a+b=6
2a+b=2 \hfill (2)
Adım 4 — Denklem sistemini çözelim
(1) ve (2) birlikte:
6a+b=-6
2a+b=2
Çıkaralım:
4a=-8
a=-2
Bunu (2)’de yerine yazalım:
2(-2)+b=2
-4+b=2
b=6
Adım 5 — $P(-2)$’yi bulalım
P(-2)=((-2)^2+5)\big(((-2)^2)+a(-2)+b\big)
P(-2)=(4+5)(4-2a+b)
a=-2, b=6 olduğundan:
P(-2)=9(4-2(-2)+6)
P(-2)=9(4+4+6)
P(-2)=9\cdot 14
P(-2)=126
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 126
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Bölme Teoremi
- Tanım: Bir polinomun x-a ile bölümünden kalan, $P(a)$’dır.
- Bu problemde: x-2 ile bölümünden kalan 54 olduğu için P(2)=54 aldık.
2. Katsayılar Toplamı
- Tanım: Bir polinomun katsayılar toplamı $P(1)$’e eşittir.
- Bu problemde: Sabit terim ile katsayılar toplamı eşit verildiği için P(0)=P(1) yazdık.
Sık Yapılan Hata:
Yanlış:
- Yöntem: Sadece P(2)=54 bilgisini kullanmak.
- Doğru: Hem P(2)=54 hem de P(0)=P(1) bilgileri birlikte kullanılmalı.
- Neden yanlış: Tek bilgi, a ve $b$’yi bulmaya yetmez.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Dördüncü Dereceden Polinom P(x) İçin P(-2) Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir polinomun katsayılar toplamı P(1)'dir. Sabit terim P(0)'dır. Kalıansız bölüm için (x^2 + 5) çarpan olur. Kalan teoremi ile P(2) = 54.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Polinomu Genel Şekilde Yazma
P(x) dördüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olduğundan:
Adım 2 — Kalansız Bölünme Koşulu
x^2 + 5 ile kalansız bölündüğünden:
Dolayısıyla:
a = p, b = q + 5, c = 5 p, d = 5 q
Adım 3 — Sabit Terim ve Katsayılar Toplamı Eşitliği
Sabit terim d = P(0) = 5 q
Katsayılar toplamı P(1) = 1 + a + b + c + d = d
Adım 4 — P(2) = 54 Koşulu
Adım 5 — Denklem Sistemini Çözme
(1) - (2): (6 p + q) - (2 p + q) = -6 - 2
(2)'ye koy: 2(-2) + q = 2 \implies q = 6
Adım 6 — Polinomu Doğrulama
P(1) = 1 - 2 + 11 - 10 + 30 = 30 = d (doğru)
P(2) = 16 - 16 + 44 - 20 + 30 = 54 (doğru)
Adım 7 — P(-2)'yi Hesaplama
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 126 (Seçenek C)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katsayılar Toplamı
- Tanım: P(1) ile bulunur.
- Bu problemde: P(1) = 30
2. Sabit Terim
- Tanım: P(0) veya polinomun x’siz terimi.
- Bu problemde: d = 30
3. Kalansız Bölüm
- Tanım: Bölünen tam bölünür, kalan sıfırdır (x^2 + 5 kökleri \pm i \sqrt{5}).
- Bu problemde: (x^2 + 5) çarpan olarak alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katsayılar toplamını sadece değişkenli terimlerden alma
- Yanlış: 1 + a + b + c = d
- Doğru: Tüm katsayılar P(1) = d
- Neden yanlış: Sabit terim de katsayıdır.
Kalan teoremini unutma
- Yanlış: P(2) yerine bölüm işlemi yapma.
- Doğru: Direkt P(2) = 54.
- Neden yanlış: Zaman kaybı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?