23. Soru — Türevin grafiğine göre f fonksiyonunu inceleme
Türev grafiği yukarı açılan değil, aşağı açılan bir parabol ve f'(x), x=0 ile x=2a noktalarında x eksenini kesiyor. Bu yüzden f'(x)>0 olduğu aralıkta f artar, f'(x)<0 olduğu aralıkta f azalır. Buradan f fonksiyonunun tek bir yerel maksimum noktasına sahip olduğu anlaşılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Türevin işaretini belirleyelim
Grafikte f'(x) parabolü x=0 ve x=2a’da sıfır oluyor.
- (-\infty, 0) aralığında f'(x)<0
- (0, 2a) aralığında f'(x)>0
- (2a, \infty) aralığında f'(x)<0
Adım 2 — Artma-azalma durumunu yazalım
- f'(x)>0 olduğunda f artar
- f'(x)<0 olduğunda f azalır
Buna göre:
- (-\infty, 0): azalan
- (0, 2a): artan
- (2a, \infty): azalan
Adım 3 — Yerel ekstremumları belirleyelim
Türev işareti negatiften pozitife dönerse yerel minimum,
pozitiften negatife dönerse yerel maksimum olur.
Bu grafikte:
- x=0 noktasında negatif → pozitif geçişi var, yani yerel minimum
- x=2a noktasında pozitif → negatif geçişi var, yani yerel maksimum
Yani f fonksiyonunun 2 tane yerel ekstremum noktası vardır.
Adım 4 — Önermeleri değerlendirelim
I. ( -\infty, a) aralığında artandır.
Yanlış. Çünkü x=0 ile x=2a arasında artıyor; fakat (-\infty,0) aralığında azalıyor. ( -\infty, a) aralığının tamamı için artan denemez.
II. x=a için yerel maksimum vardır.
Yanlış. Yerel maksimum x=2a noktasındadır, x=a değil.
III. İki tane yerel ekstremum noktası vardır.
Doğru. Bir yerel minimum ve bir yerel maksimum vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) Yalnız III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Türevin işaretine göre artma-azalma
- Tanım: f'(x)>0 ise fonksiyon artar, f'(x)<0 ise azalır.
- Bu soruda: İşaret değişiminden ekstremum noktaları bulundu.
2. Yerel ekstremum
- Tanım: Fonksiyonun çevresine göre en büyük ya da en küçük olduğu noktadır.
- Bu soruda: x=0 yerel minimum, x=2a yerel maksimumdur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Türev grafiğindeki kökleri doğrudan fonksiyonun ekstremumuyla karıştırmak
- Yanlış: Kökleri görüp yanlış noktayı maksimum/minimum sanmak.
- Doğru: Türevin işaret değişimine bakmak gerekir.
- Neden yanlış: Ekstremum noktası, türevin sıfır olduğu yer değil; işaret değiştirdiği yerdir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Verilen türev grafiğine göre f fonksiyonunun özellikleri
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Seçenek A Analizi (Yalnız I)
I. (-∞, a) aralığında artandır.
Grafikte f’(x)‘nin sıfırları x=0 ve x=2a’dadır. f’(x) < 0 için x < 0, f’(x) > 0 için 0 < x < 2a, f’(x) < 0 için x > 2a.
Yani f(x), x<0’de azalan, 0<x<2a’da artan, x>2a’da azalan.
a, muhtemelen 0 ile 2a arası tepe noktası (orta nokta). (-∞, a) aralığı x<0 (azalan) ve 0<x<a (artan) içerir, yani tüm aralıkta artmaz. Yanlış.
Adım 2 — Seçenek B Analizi (Yalnız II)
II. x=a için yerel maksimum vardır.
Yerel ekstremum, f’(x)=0 noktalarında olur: x=0 (min), x=2a (max).
x=a’da f’(x) maksimum pozitif değerdedir (f’ grafiğinin tepe noktası), f’(a) ≠ 0 olduğundan ekstremum yoktur. Yanlış.
Adım 3 — Seçenek C Analizi (Yalnız III)
III. İki tane yerel ekstremum noktası vardır.
f’(x)=0 noktaları x=0 ve x=2a’dır.
- x=0: f’ sola negatif, sağa pozitif → yerel minimum.
- x=2a: f’ sola pozitif, sağa negatif → yerel maksimum.
Doğru, iki ekstremum vardır.
Adım 4 — Seçenek D Analizi (I ve II)
I yanlış, II yanlış → Yanlış.
Adım 5 — Seçenek E Analizi (I ve III)
I yanlış, III doğru → Yanlış.
Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
C. Yalnız III — İki yerel ekstremum (x=0 min, x=2a max) vardır, diğerleri grafiğe uymaz.
A. Yalnız I — (-∞,a) monotonic artmaz.
B. Yalnız II — x=a’da f’≠0.
D. I ve II — Her ikisi yanlış.
E. I ve III — I yanlış.
Adım 7 — Son Doğrulama
f’(x) parabolü yukarı doğru açılır gibi görünse de (tepe yukarı), negatif katsayıyla aşağı açılır: kökler arası pozitif. İşaret tablosu standart: iki kritik nokta, iki ekstremum doğrular.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) Yalnız III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?