Resimli Soru 06-05-2026 10:58:59

YKS TYT
1

IMG_8696
IMG_8696720×960 30.1 KB

2

Soru 12 — Pozitif test sonucunda gerçekten hasta olma olasılığı

:light_bulb: Kullanılan Formül:
Bayes mantığıyla:

P(H|+) = \frac{P(+|H)\cdot P(H)}{P(+|H)\cdot P(H) + P(+|\bar{H})\cdot P(\bar{H})}

Adım 1 — Verilenleri yazalım

  • Hastalık görülme olasılığı: P(H)=0.20
  • Sağlıklı olma olasılığı: P(\bar{H})=0.80
  • Hasta köpekte testin pozitif çıkması: P(+|H)=0.90
  • Sağlıklı köpekte testin pozitif çıkması: P(+|\bar{H})=0.15

Adım 2 — Pozitif çıkma olasılığını bulalım
Toplam pozitiflik:

P(+)=0.90 \cdot 0.20 + 0.15 \cdot 0.80
P(+)=0.18 + 0.12 = 0.30

Adım 3 — Gerçekten hasta olma olasılığını hesaplayalım

P(H|+) = \frac{0.90 \cdot 0.20}{0.30}
P(H|+) = \frac{0.18}{0.30} = 0.60

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: %60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

1. Koşullu Olasılık

  • Tanım: Bir olay gerçekleştiğinde, başka bir olayın olasılığını bulur.
  • Bu problemde: Test sonucu pozitif olan bir köpeğin gerçekten hasta olma olasılığı soruldu.

2. Bayes Mantığı

  • Tanım: Test sonuçlarıyla gerçek durum arasındaki ilişkiyi kurar.
  • Bu problemde: Pozitif test sonucunu kullanarak hastalıklı olma olasılığı hesaplandı.

:warning: Sık Yapılan Hatalar:

:cross_mark: Doğrudan %90 demek

  • Yanlış: Pozitif çıkan her köpek %90 hasta sanılır.
  • Doğru: %90, hastaysa testin pozitif çıkma olasılığıdır.
  • Neden yanlış: Bu, istenen olasılık değildir.

:cross_mark: Sağlıklı köpekleri hesaba katmamak

  • Yanlış: Sadece hastaları düşünmek.
  • Doğru: Sağlıklı köpeklerin de %15 oranında pozitif çıkabildiği unutulmamalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Test sonucu pozitifse Caki’nin gerçekten hasta olma olasılığı yüzde kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bayes Teoremi

P(H|+) = \frac{P(+|H) \cdot P(H)}{P(+)}

Burada $$ P(+) = P(+|H) \cdot P(H) + P(+|\neg H) \cdot P(\neg H) $$

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Olasılıkları Tanımla
Hastalığı taşıma olasılığı: $$ P(H) = %20 = 0.20 $$
Hastalığı taşımama olasılığı: $$ P(\neg H) = 0.80 $$
Hastalıksızlarda pozitif test (yanlış pozitif): $$ P(+|\neg H) = %15 = 0.15 $$
Hastalıklılarda pozitif test (doğru pozitif): $$ P(+|H) = %90 = 0.90 $$

Adım 2 — Toplam Pozitif Test Olasılığını Hesapla

P(+) = (0.90 \times 0.20) + (0.15 \times 0.80)
= 0.18 + 0.12 = 0.30

Adım 3 — Koşullu Olasılığı Hesapla

P(H|+) = \frac{0.90 \times 0.20}{0.30} = \frac{0.18}{0.30} = 0.60

Yani %60

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: %60 (B şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Bayes Teoremi

  • Tanım: Ön bilgi (prior) ile test sonucunu birleştirerek arka plan olasılığı (posterior) verir.
  • Bu problemde: Hastalık yaygınlığını (%20) göz ardı etmeden pozitif test sonucunu yorumladık.

2. Yanlış Pozitif Oranı

  • Tanım: Hastalığı olmayanlarda testin pozitif çıkma oranıdır (%15).
  • Bu problemde: Toplam P(+) hesaplanırken kritik rol oynadı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Doğrudan Duyarlılık Kullanma

  • Yanlış: $$ \frac{0.90}{0.90 + 0.15} \approx %86 $$ (ön yaygınlık unutuldu).
  • Doğru: Ön olasılık P(H)=0.20 ile ağırlıklandır.
  • Neden yanlış: Gerçek hayatta hastalık nadir olursa yanlış pozitifler baskın olur.

:cross_mark: Yanlış Toplam Hesabı

  • Yanlış: P(+)=0.90×0.20 + 0.15×0.20=0.21 (P(¬H) yerine P(H) kullanıldı).
  • Doğru: P(¬H)=0.80 ile çarp. Sonuç %75’e (D) yol açar.
  • Neden yanlış: Taşımayan grubun büyüklüğü (%80) ihmal edildi.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

Bu Bayes teoremiyle ilgili başka bir örnek problem çözmemi ister misin? Ya da 13. soruyu mu inceleyelim?