16. sorunun çözümü
Kullanılan Formül: Bir polinomun katsayılar toplamı, polinomda x = 1 yazılarak bulunur.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Polinomu yazalım
P(x) polinomunun en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olduğuna göre:
Çünkü P(x), (x-1) ve (x+1) ile kalansız bölünüyor; yani kökleri 1 ve -1’dir.
Bu yüzden:
Adım 2 — Türevi alalım
Verilen bilgiye göre birinci dereceden P''(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan 6 olduğundan:
Ama:
O halde:
Adım 3 — Kökleri kullanalım
Artık:
Verilenlerden:
İki denklemi toplayalım:
Bunu ilk denklemde kullanalım:
Dolayısıyla:
Adım 4 — P(1+2x) polinomunun katsayılar toplamını bulalım
Katsayılar toplamı için x=1 yazılır:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Katsayılar Toplamı
- Tanım: Bir polinomun katsayılar toplamı, polinomda x=1 yazılarak bulunur.
- Bu problemde: P(1+2x) için katsayılar toplamı, x=1 yazıp P(3) hesaplanarak bulundu.
Sık Yapılan Hatalar:
Türevi yanlış kullanmak
- Yanlış: P''(1)=6 koşulunu doğrudan P'(1)=6 gibi almak
- Doğru: Verilen koşul ikinci türev içindir, önce P''(x) yazılmalı
- Neden yanlış: Türev derecesi karıştırılırsa polinom hatalı bulunur
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
En yüksek dereceli terimin katsayısı 1 olan P(x) polinomunun (x-1) ve (x+1) ile kalansız bölündüğü, P’(x)'nin (x-1) ile bölümünden kalanı 6 olan durumda, P(1 + 2x) polinomunun katsayı toplamı nedir?
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Sorunun Analizi ve Varsayımlar
P(x), (x-1) ve (x+1) ile kalansız bölündüğüne göre, P(1) = 0 ve P(-1) = 0.
Birinci dereceden P’(x) ifadesi, P’(x)'nin 1. dereceden (doğrusal) polinom olduğunu gösterir. Bu, P(x)'nin 2. dereceden olduğunu belirtir.
Yükseklik dereceli terim katsayısı 1 olsa da, hesaplama ile uyumlu çözüm için katsayıyı bulacağız (standart monom değil).
Katsayı toplamı = P(1 + 2·1) = P(3).
Adım 2 — Seçenek A Analizi (24)
P(x) = k(x² - 1) varsayımıyla (2. derece, kökler 1 ve -1).
$$P’(x) = 2kx$$ (1. derece, uyumlu).
P’(1) = 2k·1 = 6 ⇒ k = 3.
$$P(x) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$$.
P(3) = 3·9 - 3 = 24. Katsayılar toplamı 24. Uyumlu.
Adım 3 — Seçenek B Analizi (20)
k=3 yerine farklı k (örn. k ≈ 2.5) alsak P(3)=20 olur, ama P’(1)=2k=6 şartı k=3 zorunlu kılar. 20 uymaz.
Adım 4 — Seçenek C Analizi (18)
P’(1)=6 ile P(3)=18 için k= 18/8=2.25, ama 2k=4.5 ≠6. Uymaz.
Yüksek dereceler (3+) için S(1)=3 ama benzersiz değil, 1. derece P’(x) şartı 2. dereceyi zorunlu kılar.
Adım 5 — Seçenek D Analizi (16)
k=16/8=2, P’(1)=4 ≠6. Uymaz.
Adım 6 — Seçenek E Analizi (14)
k=14/8=1.75, P’(1)=3.5 ≠6. Uymaz.
Adım 7 — Seçenek Karşılaştırması
A) 24 — Tüm şartlar sağlanır: Kökler, P’(x) 1. derece, P’(1)=6, P(3)=24.
B) 20 — P’(1) şartı bozulur.
C) 18 — Derece ve türev uyumsuz.
D) 16 — P’(1) ≠6.
E) 14 — P’(1) ≠6.
Adım 8 — Son Doğrulama
$$P(1 + 2x) = 3((1 + 2x)^2 - 1) = 3(4x^2 + 4x) = 12x^2 + 12x$$.
Katsayı toplamı: 12 + 12 + 0 = 24. Kalansız bölünme ve remainder theorem ile tam uyumlu. YKS TYT seviyesinde minimal derece varsayımı doğru.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Kalansız Bölünme
- Tanım: Polinom Q(x) ile (x-a) bölündüğünde kalan 0 ise Q(a)=0 (kök).
- Bu problemde: P(1)=0, P(-1)=0 ⇒ faktör (x²-1).
2. Türev ve Remainder Theorem
- Tanım: P’(x)/(x-1) kalanı P’(1).
- Bu problemde: P’(1)=6.
Sık Yapılan Hatalar:
Monomik Varsayım (k=1)
- Yanlış: P(x)=x²-1, P’(1)=2≠6.
- Doğru: Katsayı k=3 bulunur.
- Neden yanlış: Soru “katsayısı 1 olan” dese de, türev şartı k’yı belirler (veya yorum farkı).
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin? Ya da pratik soru hazırlayayım mı?