Verilen grafik için \int_0^7 g(x)\,dx değeri
Önce f(x) fonksiyonunu parçalı okuyalım:
Grafikten:
- 0 \le x \le 2 aralığında f(x) doğrusu (0,2) ve (2,4) noktalarından geçiyor, yani eğim 1
- 2 \le x \le 5 aralığında eğim -1
- 5 \le x \le 7 aralığında eğim 0
Verilen tanıma göre:
- f'(x)=1 ise g(x)=5-f(x)
- f'(x)=0 ise g(x)=3f(x)
- f'(x)=-1 ise g(x)=2f(x)+1
Adım 1 — 0 \le x \le 2 aralığında f(x) ve g(x)
Grafikten bu aralıkta
Dolayısıyla
Şimdi integral:
Adım 2 — 2 \le x \le 5 aralığında f(x) ve g(x)
Bu aralıkta doğru (2,4) ve (5,1) noktalarından geçer, yani
Bu yüzden
Şimdi integral:
Adım 3 — 5 \le x \le 7 aralığında f(x) ve g(x)
Grafikte bu kısım sabit:
Dolayısıyla
Şimdi integral:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Parçalı Fonksiyon Okuma
- Tanım: Grafikte her aralığın eğimi belirlenerek fonksiyonun parçaları bulunur.
- Bu problemde: f(x), eğime göre üç farklı aralıkta çözüldü.
2. Doğrusal Fonksiyon ve İntegral
- Tanım: Doğrunun altında kalan alan, integral ile bulunur.
- Bu problemde: Her aralıkta g(x) doğrusunun integrali ayrı ayrı alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış aralığı tek parça sanmak
- Yanlış: $f(x)$’i tüm aralıkta aynı kabul etmek
- Doğru: Eğimin değiştiği yerlerde fonksiyonu parçalamak
- Neden yanlış: Çünkü g(x) tanımı $f’(x)$’e bağlıdır
f'(x) ile $f(x)$’i karıştırmak
- Yanlış: Türevi doğrudan fonksiyon gibi kullanmak
- Doğru: Önce grafikten f(x) bulunmalı, sonra g(x) hesaplanmalı
İstersen bu sorunun kısa çözümünü de yazabilirim veya neden $f’(x)$’e göre g(x) değişiyor onu açıklayabilirim.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Dik Koordinat Sisteminde Verilen f Fonksiyonuna Göre g(x)'in ∫₀⁷ g(x) dx Değeri
Grafikteki f(x) fonksiyonu parçalı doğrusal olup, f’(x) türev değerlerine göre g(x) tanımlıdır:
[Kullanılan Formül / Kural:] Parçalı integral kuralı: \int_0^7 g(x) \, dx = \int_0^2 g(x) \, dx + \int_2^5 g(x) \, dx + \int_5^7 g(x) \, dx
[Çözüm Adımları:]
Grafikten aralıkları ve f(x)'i belirleyelim (parçalı doğrusal).
Adım 1 — Aralıkları ve f’(x)'i Belirle
- [0, 2]: Eğim f'(x) = 1 (f(0)=2, f(2)=4), f(x) = 2 + x → g(x) = 5 - f(x) = 5 - (2 + x) = 3 - x
- [2, 5]: Eğim f'(x) = -1 (f(2)=4, f(5)=1), f(x) = 6 - x → g(x) = 2f(x) + 1 = 2(6 - x) + 1 = 13 - 2x
- [5, 7]: Eğim f'(x) = 0 (f(x)=1), g(x) = 3f(x) = 3 \cdot 1 = 3
Adım 2 — Her Aralığın İntegralini Hesapla
- \int_0^2 (3 - x) \, dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = (6 - 2) - 0 = 4
- \int_2^5 (13 - 2x) \, dx = \left[ 13x - x^2 \right]_2^5 = (65 - 25) - (26 - 4) = 40 - 22 = 18
- \int_5^7 3 \, dx = 3(x)_5^7 = 3(2) = 6
Adım 3 — Toplamı Bul
4 + 18 + 6 = 28
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[Cevap:] 28 (Seçenek D)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[Temel Kavramlar:]
1. Parçalı Fonksiyon
- [Tanım:] Farklı aralıklarda farklı ifadelerle tanımlanan fonksiyon.
- [Bu problemde:] g(x), f’(x)'in değerine göre parçalı; integral aralıklara ayrılır.
2. Doğrusal Fonksiyonun İntegrali
- [Tanım:] f(x) = mx + b için \int f(x) \, dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C.
- [Bu problemde:] Her aralıkta doğrusal olduğundan kolay hesaplanır.
[Sık Yapılan Hatalar:]
Eğimleri Yanlış Okuma
- [Yanlış:] [0,2]'yi slope 0 sanmak → g(x)=3f(x) kullanmak, integral ~18 olur (A’ya yakın).
- [Doğru:] Grafik eğimini Δy/Δx ile hesapla: (4-2)/(2-0)=1.
- [Neden yanlış:] Görsel yanılsama; cetvelle ölç.
Aralık Sınırlarını Atlamak
- [Yanlış:] [2,5]'yi 2 birim sanmak → integral kısmi kalır (B veya C’ye yol açar).
- [Doğru:] x=2,5,7 işaretlerini dikkatli oku.
- [Neden yanlış:] Grafik ölçeği ihmal.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin? Ya da pratik bir integral sorusu çözelim mi?