Resimli Soru 06-05-2026 10:43:03

YKS TYT
1

IMG_8695
IMG_8695720×960 29.4 KB

2

22. sorunun çözümü

f(x) = \dfrac{x-3a}{x+a} fonksiyonunun A(a,f(a)) noktasındaki teğetinin eğimi, türevden f'(a) ile bulunur. Verilen teğet doğrusu y=-\dfrac{x}{5}-b olduğuna göre eğim -\dfrac{1}{5} olmalıdır. Buradan a bulunur, sonra f(a) ve b hesaplanır; son olarak f(b) istenir.

Kullanılan formül:

f(x)=\frac{x-3a}{x+a}
f'(x)=\frac{(x+a)\cdot 1-(x-3a)\cdot 1}{(x+a)^2}

Çözüm adımları:

Adım 1 — Türevi bulalım

f'(x)=\frac{(x+a)-(x-3a)}{(x+a)^2} =\frac{4a}{(x+a)^2}

Adım 2 — Teğet eğimini kullan
Teğetin denklemi y=-\dfrac{x}{5}-b olduğundan eğim:

-\frac{1}{5}

olur. Bu yüzden

f'(a)=-\frac{1}{5}

Ama

f'(a)=\frac{4a}{(a+a)^2}=\frac{4a}{(2a)^2}=\frac{4a}{4a^2}=\frac{1}{a}

Dolayısıyla:

\frac{1}{a}=-\frac{1}{5} \Rightarrow a=-5

Adım 3 — f(a) değerini bul

f(-5)=\frac{-5-3(-5)}{-5+(-5)}=\frac{-5+15}{-10}=\frac{10}{-10}=-1

Nokta A(a,f(a)) olduğuna göre:

A(-5,-1)

Bu nokta teğet doğrusunun üzerinde olduğundan:

-1=-\frac{-5}{5}-b
-1=1-b
b=2

Adım 4 — f(b) değerini bul

f(2)=\frac{2-3(-5)}{2+(-5)}=\frac{2+15}{-3}=\frac{17}{-3}=-\frac{17}{3}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: -\dfrac{17}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Temel kavramlar:

1. Türev ve teğet eğimi

  • Tanım: Bir noktadaki teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
  • Bu problemde: Teğet doğrusunun eğimi -\dfrac{1}{5} alındı.

2. Noktanın doğru üzerinde olması

  • Tanım: Bir nokta doğru üzerinde ise koordinatları doğru denkleminde sağlamalıdır.
  • Bu problemde: A(-5,-1) noktası kullanılarak b bulundu.

3. Fonksiyon değeri

  • Tanım: x yerine verilen sayı yazılarak bulunur.
  • Bu problemde: Önce b=2 bulundu, sonra f(2) hesaplandı.

Sık yapılan hata:

:cross_mark: Eğim ile sabit terimi karıştırmak

  • Yanlış: Doğrudan b değerini eğim sanmak.
  • Doğru: Eğim -\dfrac{1}{5}, sabit terim ise -b dir.
  • Neden yanlış: Teğet denkleminin eğimi ve sabit terimi farklı kavramlardır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Odak AYT Deneme Sınavı 4 - 22. Soru: f(b) Değeri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Teğet doğrunun eğimi f'(a) = -\frac{1}{5} olur. Teğet, nokta A(a, f(a)) üzerinden geçer. Türev, bölüm kuralı ile:

f'(x) = \frac{(x+a) \cdot 1 - (x-3a) \cdot 1}{(x+a)^2} = \frac{4a}{(x+a)^2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(a) hesapla

f(a) = \frac{a - 3a}{a + a} = \frac{-2a}{2a} = -1

Teğet noktası A(a, -1).

Adım 2 — f'(a) hesapla

f'(a) = \frac{4a}{(a+a)^2} = \frac{4a}{4a^2} = \frac{1}{a}

Adım 3 — Eğimden a bul
Teğet eğimi -\frac{1}{5} = \frac{1}{a}

a = -5

Adım 4 — Teğet denklemiyle b bul
Teğet: y = -\frac{1}{5}x - \frac{b}{5}
x = a = -5, y = -1 yerine koy:

-1 = -\frac{1}{5}(-5) - \frac{b}{5} = 1 - \frac{b}{5}
\frac{b}{5} = 2 \implies b = 10

Adım 5 — f(b) hesapla

f(10) = \frac{10 - 3(-5)}{10 + (-5)} = \frac{10 + 15}{5} = \frac{25}{5} = 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Teğet Doğru

  • Tanım: Bir eğriye belirli bir noktada temas eden ve eğimin türeve eşit olduğu doğru.
  • Bu problemde: A(a, -1) noktasında eğim f'(a) = -\frac{1}{5}, doğru noktadan geçiyor.

2. Bölüm (Quotient) Kuralı

  • Tanım: f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} ise f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
  • Bu problemde: u = x-3a, v = x+a ile f'(x) = \frac{4a}{(x+a)^2}.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Türev hesabı hatası

  • Yanlış: f'(x) = \frac{1}{x+a} gibi basitleştirme.
  • Doğru: Tam bölüm kuralı uygula, fark 4a çıkar.
  • Neden yanlış: Pay ve payda türev farkını unutma.

:cross_mark: Nokta koşulunu atlama

  • Yanlış: Sadece eğimden a bulup b’yi ihmal et.
  • Doğru: Teğet noktadan da geçer, iki denklem çöz.
  • Neden yanlış: Tek koşul yetersiz, b belirlenmez.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?