Bu soruda toplam kablo uzunluğu nedir?
Kullanılan Kural:
4^7 = 2^{14} ve 2^{16}
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Bir mavi kablonun uzunluğu
Mavi kablo: 4^7 m
4^7 = (2^2)^7 = 2^{14} m
Adım 2 — 64 mavi kablonun toplamı
64 = 2^6 olduğundan:
2^6 \times 2^{14} = 2^{20} m
Adım 3 — Bir kırmızı kablonun uzunluğu
Kırmızı kablo: 2^{16} m
Adım 4 — 16 kırmızı kablonun toplamı
16 = 2^4 olduğundan:
2^4 \times 2^{16} = 2^{20} m
Adım 5 — İki tarafın toplamı
2^{20} + 2^{20} = 2 \times 2^{20} = 2^{21} m
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 2^{21} m
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Üslü sayıları aynı tabana çevirme
- Tanım: Farklı görünen üslü ifadeler aynı tabana dönüştürülerek kolayca toplanır.
- Bu problemde: 4^7 ifadesi 2 tabanına çevrildi.
2. Çarpma işleminde üs toplama
- Tanım: a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- Bu problemde: 2^6 \cdot 2^{14} = 2^{20} yapıldı.
Sık Yapılan Hatalar:
4^7 ifadesini doğrudan 2 ile karıştırmak
- Yanlış: 4^7 = 2^7 gibi düşünmek
- Doğru: 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}
- Neden yanlış: Taban dönüşümünde üs de çarpılır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
İki Şehir Arası Fiber Optik Hat: Tüm Kabloların Toplam Uzunluğu Kaç Metredir?
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Seçenek A Analizi
A) 4^{13}
Mavi kabloların bireysel uzunluğu 4^7 m, adet sayısı 64 = 2^6 = 4^3. Toplam mavi: 4^3 \times 4^7 = 4^{10}.
Kırmızı kabloların bireysel uzunluğu 2^{16} m, adet 16 = 2^4. Toplam kırmızı: 2^4 \times 2^{16} = 2^{20}.
Genel toplam: 4^{10} + 2^{20} = 2^{20} + 2^{20} = 2^{21} \neq 4^{13} = 2^{26}. Yanlış.
Adım 2 — Seçenek B Analizi
B) 4^{12}
Yukarıdaki hesaplama ile toplam 2^{21}. 4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24} \neq 2^{21}. Bu seçenek mavi veya kırmızı toplamını kısmen yansıtsa da genel toplamı vermez. Yanlış.
Adım 3 — Seçenek C Analizi
C) 8^7
Mavi toplam: 64 \times 4^7 = 2^6 \times (2^2)^7 = 2^6 \times 2^{14} = 2^{20} m.
Kırmızı toplam: 16 \times 2^{16} = 2^4 \times 2^{16} = 2^{20} m.
Genel: 2^{20} + 2^{20} = 2 \times 2^{20} = 2^{21}.
8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}. Doğru eşleşme.
Adım 4 — Seçenek D Analizi
D) 16^5
16^5 = (2^4)^5 = 2^{20}. Bu sadece bir tarafın (mavi veya kırmızı) toplamını verir, genel toplamı değil. Yanlış.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
C) 8^7 — Her iki taraf da 2^{20} m verir, toplam 2^{21} = 8^7 m.
A) 4^{13} — 2^{26}, fazla büyük.
B) 4^{12} — 2^{24}, hala fazla.
D) 16^5 — 2^{20}, eksik (sadece bir taraf).
Adım 6 — Son Doğrulama
Her iki taraf da (mavi 64 adet 4^7 m, kırmızı 16 adet 2^{16} m) uç uca bağlanarak yol boyunca döşenir. Toplam kablo uzunluğu iki tarafın toplamıdır ve 2^{21} m’ye eşittir. Bu, üsleri 2 tabanında sadeleştirerek doğrulanır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 8^{7}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslerin Çarpımı
- Tanım: a^m \times a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{m \cdot n}.
- Bu problemde: 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}, 64 = 2^6 ile sadeleştirme.
2. Toplam Kablo Uzunluğu
- Tanım: Uç uca bağlanan kabloların toplamı = adet \times bireysel uzunluk.
- Bu problemde: İki tarafın toplamı alınır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Bir Tarafı Hesaplama
- Yanlış: Yalnızca mavi kabloları (2^{20} = 16^5) toplamak.
- Doğru: Her iki tarafı da eklemek (2^{21}).
- Neden yanlış: Soru “tüm kabloların” der.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?