100. (2x + 1)/2 + (x − 1)/3 = x/2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Önemli Noktalar
- Kesirli terimler toplanmadan önce payda eşitleme yapılmalıdır.
- Ortak payda (LCM = 6) alınarak denklem sadeleştirilir.
- Katsayıya bölme ile x izole edilir.
Denklemin çözüm kümesi ${-\tfrac{1}{5}}$’tir.
İçindekiler
- Denklemin Düzenlenmesi ve Payda Eşitleme
- Denklemin Çözüm Süreci
- Özet Tablosu
- Sık Sorulan Sorular
Denklem Düzenlenmesi ve Payda Eşitleme
Başlangıç denklemi:
\frac{2x+1}{2} \;+\;\frac{x-1}{3} \;=\;\frac{x}{2}
- Ortak payda 6’dır. Tüm terimleri 6 ile çarparak paydaları eşitleyelim:
6\!\times\!\Bigl(\tfrac{2x+1}{2} + \tfrac{x-1}{3}\Bigr)
=6\!\times\!\tfrac{x}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
3(2x+1) + 2(x-1) = 3x
- Parantezleri açalım:
6x + 3 + 2x - 2 = 3x
\quad\Longrightarrow\quad
8x + 1 = 3x
Denklem Çözüm Süreci
-
x terimlerini bir tarafa toplayın:
8x - 3x = -1
\quad\Longrightarrow\quad
5x = -1
-
Katsayıya bölün:
x = \frac{-1}{5}
-
Sonucu orijinal denklemde yerine koyup kontrol edebilirsiniz:
LHS: \tfrac{2(-1/5)+1}{2} + \tfrac{(-1/5)-1}{3}
= \tfrac{-2/5+1}{2} + \tfrac{-6/5}{3}
= \tfrac{3/5}{2} - \tfrac{6/5}{3}
= \tfrac{3}{10} - \tfrac{2}{5}
= \tfrac{3}{10} - \tfrac{4}{10}
= -\tfrac{1}{10}
RHS: \tfrac{-1/5}{2} = -\tfrac{1}{10}
Özet Tablosu
| Adım |
İşlem |
Sonuç |
| 1. Payda eşitleme |
6\cdot\bigl(\frac{2x+1}{2}+\frac{x-1}{3}\bigr)=6\cdot\frac{x}{2} |
3(2x+1)+2(x-1)=3x |
| 2. Parantez açma ve toplama |
6x+3+2x-2=3x |
8x+1=3x |
| 3. Terimleri toplama |
8x-3x=-1 |
5x=-1 |
| 4. Katsayıya bölme |
x=\tfrac{-1}{5} |
x=-\tfrac{1}{5} |
Sık Sorulan Sorular
1. Kesirli terimleri toplarken neden payda eşitleme gerekir?
Farklı paydalı kesirler doğrudan toplanamaz; ortak payda bulunmalı, sonra paylar toplanmalıdır.
2. Payda eşitledikten sonra katsayıya bölme adımı neden zorunludur?
$x$’i izole etmek için denklemin her iki tarafı aynı katsayıya bölünmelidir.
3. Denklemi kontrol etmek neden önemlidir?
İşlem hatalarını yakalamak ve denklem dengesini sağlamak için bulunana değer orijinal denkleme geri yazılmalıdır.
Başka kesirli katsayılar içeren veya birden fazla parantezli denklemlerle pratiğe devam etmek ister misiniz?
@Sevval_Oz
99. \frac{1}{4} - x = \frac{x}{2} + 1 Denkleminin Çözüm Kümesi Nedir?
Önemli Noktalar
- Kesirli terimlerin paydalarını eşitlemek için ortak payda kullanılır.
- Tüm terimler ortak payda ile genişletilerek paydalar kaldırılır.
- Bilinmeyen terimler bir tarafa, sabitler diğer tarafa toplanır.
- Katsayıya bölme işlemi yapılır ve x değeri bulunur.
İçindekiler
- Denklemin Düzenlenmesi ve Payda Eşitleme
- Denklemin Çözülmesi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Denklem Düzenlenmesi ve Payda Eşitleme
Verilen denklem:
\frac{1}{4} - x = \frac{x}{2} + 1
İlk olarak paydaları eşitlemek için en küçük ortak payda (EKP) bulunur:
Paydalar 4 ve 2 olduğundan EKP: 4
Denklemin her terimini 4 ile genişleterek paydaları kaldırıyoruz:
4 \times \left(\frac{1}{4} - x \right) = 4 \times \left(\frac{x}{2} + 1 \right)
İşlemler sonucu:
1 - 4x = 2x + 4
Denklem Çözülmesi
- Bilinmeyen terimleri bir tarafa toplayalım:
1 - 4x = 2x + 4 \quad \Rightarrow \quad 1 - 4x - 2x = 4
1 - 6x = 4
- Sabit terimleri izole edelim:
-6x = 4 - 1
-6x = 3
- Katsayıya bölerek x değerini bulalım:
x = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
Özet Tablo
| Adım |
İşlem |
Sonuç |
| 1. Payda ile genişletme |
4 \times \left(\frac{1}{4} - x\right) = 4 \times \left(\frac{x}{2} + 1\right) |
1 - 4x = 2x + 4 |
| 2. Bilinmeyenleri toplama |
1 - 4x - 2x = 4 |
1 - 6x = 4 |
| 3. Sabitleri izole etme |
-6x = 3 |
-6x = 3 |
| 4. Katsayıya bölme |
x = \frac{3}{-6} |
x = -\frac{1}{2} |
Sık Sorulan Sorular
1. Kesirli denklemlerde paydaları eşitlemek neden önemli?
Paydaları eşitlemeden kesirli terimleri doğrudan toplamak veya çıkarmak doğru değildir; ortak payda bulunup her terime çarpma işlemi yaparak paydalar kaldırılmalıdır.
2. Paydaları kaldırdıktan sonra işaretlere nasıl dikkat edilir?
Çarpma işlemi tüm terimlere eşit olarak uygulanmalı, artı ve eksi işaretleri korunmalıdır.
3. Denklemin çözümünü bulduktan sonra nasıl kontrol ederiz?
Bulunan x değeri orijinal denkleme yerine koyularak, iki tarafın eşit olup olmadığı doğrulanmalıdır.
Sonraki Adımlar
Birden fazla kesir içeren veya parantezli karmaşık denklemlerde adım adım çözüm stratejileri ister misiniz?
@Sevval_Oz
99. 1/4 − x = x/2 + 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Önemli Çıkarımlar
- Kesirli terimler için önce paydaları temizlemek, denklemdeki kesirleri ortadan kaldırır.
- Bilinmeyen terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplamak ilerleyen adımları kolaylaştırır.
- Katsayıya bölme işlemiyle x değeri net olarak bulunur.
İçindekiler
- Denklemin Düzenlenmesi ve Sadeleştirilmesi
- Denklemin Çözülmesi
- Özet Tablosu
- Sık Sorulan Sorular
Denklem Düzenlenmesi ve Sadeleştirilmesi
Başlangıç denklemi:
\frac{1}{4} - x = \frac{x}{2} + 1
Her terimdeki kesirleri ortadan kaldırmak için paydaları temizleyelim (her iki tarafı 4 ile çarpın):
4\Bigl(\tfrac{1}{4} - x\Bigr) \;=\; 4\Bigl(\tfrac{x}{2} + 1\Bigr)
\quad\Longrightarrow\quad
1 - 4x = 2x + 4
Denklem Çözülmesi
- Bilinmeyen terimleri bir tarafa toplamak için her iki taraftan 2x çıkarın:
1 - 4x - 2x = 4
\quad\Longrightarrow\quad
1 - 6x = 4
- Sabit terimi izole etmek için her iki taraftan 1 çıkarın:
1 - 6x - 1 = 4 - 1
\quad\Longrightarrow\quad
-6x = 3
- Katsayıya bölme ile x’i bulun:
x = \frac{3}{-6} = -\tfrac{1}{2}
Çözüm kümesi \{-\tfrac{1}{2}\}.
Özet Tablosu
| Adım |
İşlem |
Sonuç |
| 1. Payda temizleme |
4(\tfrac{1}{4}-x)=4(\tfrac{x}{2}+1) |
1-4x = 2x+4 |
| 2. 2x çıkarma |
1-4x-2x = 4 |
1-6x = 4 |
| 3. Sabit çıkarma |
1-6x-1 = 4-1 |
-6x = 3 |
| 4. Katsayıya bölme |
x = \tfrac{3}{-6} |
x = -\tfrac{1}{2} |
Karşılaştırma Tablosu
| Kriter |
Lineer Denklem |
Lineer Eşitsizlik |
| Genel Form |
ax + b = c |
ax + b < c veya ax + b > c |
| Çözüm Adımları |
Terimleri toplama, bölme |
Terimleri toplama, bölme, işaret değişimine dikkat |
| Negatif Katsayıyla Bölme |
Eşitlik bozulmaz |
Eşitsizlik yön değiştirmez |
Sık Sorulan Sorular
1. Kesirli terimlerin paydalarını temizlemeden çözer miyiz?
– Farklı paydalı kesirler doğrudan toplanamaz; ortak kat ile çarpıp paydaları kaldırmak gerekir.
2. Her iki tarafa eşit işlem uygulamanın önemi nedir?
– Denklem dengesi korunur, sonuç doğru ve tutarlı olur.
3. Negatif katsayıyla bölme nasıl yapılır?
– Her iki tarafı da aynı negatif sayıya böldüğünüzde sadece işaret değişir, denge bozulmaz.
4. Bulunan sonucu neden kontrol etmeliyiz?
– İşlem hatalarını yakalamak ve denklem dengesini teyit etmek için orijinal denklemde yerine koymak faydalıdır.
Başka paydaları farklı veya parantez içeren denklemlerle adım adım çözümler ister misiniz?
@Sevval_Oz
