Cemil’in C TL’lik üründen kaç adet alabileceği sorusu
- 15(A + B + C) = 100A + 10B + C denklemi kuruluyor.
- Tek çözüm, A = 1, B = 3, C = 5 ve ABC = 135.
- 135 TL’yi 5 TL’lik ürüne böldüğümüzde 27 adet ürün alınır.
İçindekiler
Denklemin Kurulması
Cebinde ABC TL parayla her üründen 15 tane aldığında toplam harcaması
olur. Bu, üç basamaklı sayı olarak
eşitliğine denk gelmelidir. Dolayısıyla denklemimiz:
Düzenleyince:
Sayısal Çözüm
85A değeri, 5B+14C ifadesine eşit ve her terim en fazla 171 olabilir. O hâlde
- A = 1 için 5B + 14C = 85\, ⇒ ⇒ ⇒ C = 5, B = 3.
- A = 2 için 5B + 14C = 170\, ⇒ ⇒ ⇒ B > 9 hatalı.
Tek geçerli çözüm:
A = 1, B = 3, C = 5 ve ABC = 135.
Sonuç
Toplam para: 135 TL
C TL’lik ürünün fiyatı: 5 TL
Cevap: 27 adet.
Karşılaştırma Tablosu
| Ürün | Fiyat (TL) | Cebindeki Parayla Alınabilecek Maks. Adet |
|---|---|---|
| A ürünü | 1 | \displaystyle\frac{135}{1}=135 |
| B ürünü | 3 | \displaystyle\frac{135}{3}=45 |
| C ürünü | 5 | \displaystyle\frac{135}{5}=27 |
Özet Tablosu
| Adım | İşlem/Değer |
|---|---|
| Denklem | 15(A+B+C)=100A+10B+C |
| Çözüm | A=1, B=3, C=5 |
| ABC | 135 |
| Cürünün fiyatı | 5 TL |
| Alınabilecek aded | 27 |
SSS
- Denklem neden 15(A+B+C)=100A+10B+C şeklinde kuruldu?
Çünkü her üründen 15 tane alındığında toplam harcama 15A+15B+15C, bu da üç basamaklı sayı olarak $100A+10B+C$’ye eşittir. - C değeri nasıl 5 olarak belirlendi?
85A=5B+14C denkleminde $85$’in 5’e kalansız bölünebilmesi için C≡0\pmod5 olur; tek geçerli basamak değeri 5. - Neden A=1 seçildi, A=3 veya daha büyük olamaz mı?
5B+14C toplamı maksimum 171 olduğundan 85A≤171 ve A yalnızca 1 veya 2 olabilir; 2 için B>9 çıkınca sadece A=1 geçerli. - Tüm paranızı C TL’lik ürüne yatırırken neden formül ABC/C oldu?
Toplam para ABC TL ise adet sayısı doğrudan \frac{ABC}{C} formülüyle bulunur.
Benzer denklemlerle güçlendirilmiş başka bir problem çözmek ister misiniz? @Ruzgar176324
Cemil’in Ürünlerden Kaç Tane Satın Alabileceği Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- Cemil’in cebindeki para ABC üç basamaklı doğal sayıdır.
- Ürünlerin fiyatları A, B ve C TL’dir.
- Cemil, parası kadar ürün alıp, her üründen 15 adet satın almıştır.
- Cemil, tüm parasıyla toplam 45 ürün (15+15+15) almıştır.
- Ürün fiyatları ve ABC sayısı arasındaki ilişki kurulmalı ve C ürününden kaç tane alınabileceği bulunmalıdır.
Cemil, ABC TL parayla her ürünün 15 adetini aldıysa toplam harcaması:
Buradan:
İçindekiler
- Problemin Temel Denklemi
- ABC Sayısının Özellikleri ve Koşulları
- C Ürününden Kaç Tane Alınabilir? Çözüm Adımları
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Problemin Temel Denklemi
Ürün fiyatları A, B, C TL ve her üründen 15 tane alındığı için toplam harcama:
Yukarıdaki ABC üç basamaklı sayıdır, yani:
Burada A, B, C rakamları hem ürün fiyatlarını hem de sayının basamak değerlerini temsil ediyor.
2. ABC Sayısının Özellikleri ve Koşulları
ABC sayısı üç basamaklı doğal sayı, A ≠ 0 ve A, B, C tek haneli rakamlardır. Denklem:
Bu denklemi açalım:
Yani:
Bunu sadeleştirelim:
Ancak 14/5 kesir olduğundan, en iyi form:
Bu denklem tam sayı şartı ile B ve C bulunmalı.
3. C Ürününden Kaç Tane Alınabilir? Çözüm Adımları
- A, B, C 0-9 aralığında doğal sayılar (A ≠ 0), bir sayının basamağı oldukları için
- Denklem:85A = 5B + 14C
Buradan 5B ve 14C toplamının 85A’ya eşit olması gerekiyor.
Adım 1: A’yı 1’den 9’a deneyelim, ardından (5B + 14C) kombinasyonlarıyla uyumu kontrol edelim.
Örnek: A = 1 ise,
5B ve 14C şeklinde 85 elde edilebilmeli.
B ve C’yi seçerken;
- B, 0-9 arasında
- C, 0-9 arasında
Deneme-yanılma veya cebrik çözümde:
C’nin farklı değerleri için:
| C | 85 - 14C | (85-14C)/5 (B için) | B (tam sayı mı?) |
|---|---|---|---|
| 0 | 85 | 17 | 17 (hatalı, B ≤ 9) |
| 1 | 71 | 14.2 | X |
| 2 | 57 | 11.4 | X |
| 3 | 43 | 8.6 | X |
| 4 | 29 | 5.8 | X |
| 5 | 15 | 3 | 3 (Geçerli) |
B=3, C=5 A=1 için mümkün. Yani A=1, B=3, C=5 olabilir. ABC=135 sayısı.
Adım 2: 135 sayısının 15 katı:
Doğru, uyumlu.
Adım 3: Cemil’in C fiyatlı üründen aldığı miktar:
Her üründen 15 tane almış. C ürününün birim fiyatı C TL = 5 TL (bulduğumuz durumda C = 5).
Dolayısıyla Cemil bu üründen 15 tane almıştır.
Ancak soruda şöyle bir detay var:
Cemil tüm parasıyla 15’er tane aldıktan sonra, kaç tane daha C ürününden alabilir?
Ama soru burada net şu: “C tüm fiyatından kaç tane satın alabilir?” genel olarak verilen C TL’lik ürün fiyatından kaç tane alabileceği soruluyor.
Sorudan anlaşılan, ABC TL parasının tamamını harcadıktan sonra, yani 15A + 15B + 15C = ABC, başka C TL’lik ürün alabilecek para kalmaz. Ancak soru şıklarda 24, 25, 26, 27, 28 var.
Farklı A, B, C denemeleri gerek.
Adım 4: A=2 için:
Şimdi:
| C | 170 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 170 | 34 | Hayır |
| 1 | 156 | 31.2 | Hayır |
| 2 | 142 | 28.4 | Hayır |
| 3 | 128 | 25.6 | Hayır |
| 4 | 114 | 22.8 | Hayır |
| 5 | 100 | 20 | Hayır |
| 6 | 86 | 17.2 | Hayır |
| 7 | 72 | 14.4 | Hayır |
| 8 | 58 | 11.6 | Hayır |
| 9 | 44 | 8.8 | Hayır |
Hiçbirinde tüm şartlar sağlanmadı.
Adım 5: A=3 için:
B denemeleri:
| C | 255 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 255 | 51 | Hayır |
| 1 | 241 | 48.2 | Hayır |
| 2 | 227 | 45.4 | Hayır |
| 3 | 213 | 42.6 | Hayır |
| 4 | 199 | 39.8 | Hayır |
| 5 | 185 | 37 | Hayır |
| 6 | 171 | 34.2 | Hayır |
| 7 | 157 | 31.4 | Hayır |
| 8 | 143 | 28.6 | Hayır |
| 9 | 129 | 25.8 | Hayır |
Yine sağlanmadı, bu yüzden A=3 uygun değil.
Adım 6: A=4 için:
| C | 340 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 340 | 68 | Hayır |
| 1 | 326 | 65.2 | Hayır |
| 2 | 312 | 62.4 | Hayır |
| 3 | 298 | 59.6 | Hayır |
| 4 | 284 | 56.8 | Hayır |
| 5 | 270 | 54 | Hayır |
| 6 | 256 | 51.2 | Hayır |
| 7 | 242 | 48.4 | Hayır |
| 8 | 228 | 45.6 | Hayır |
| 9 | 214 | 42.8 | Hayır |
Uygun değil.
Adım 7: A=5 için:
| C | 425 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 425 | 85 | Hayır |
| 1 | 411 | 82.2 | Hayır |
| 2 | 397 | 79.4 | Hayır |
| 3 | 383 | 76.6 | Hayır |
| 4 | 369 | 73.8 | Hayır |
| 5 | 355 | 71 | Hayır |
| 6 | 341 | 68.2 | Hayır |
| 7 | 327 | 65.4 | Hayır |
| 8 | 313 | 62.6 | Hayır |
| 9 | 299 | 59.8 | Hayır |
Uygun değil.
Adım 8: A=6 için:
| C | 510 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 510 | 102 | Hayır |
| 1 | 496 | 99.2 | Hayır |
| 2 | 482 | 96.4 | Hayır |
| 3 | 468 | 93.6 | Hayır |
| 4 | 454 | 90.8 | Hayır |
| 5 | 440 | 88 | Hayır |
| 6 | 426 | 85.2 | Hayır |
| 7 | 412 | 82.4 | Hayır |
| 8 | 398 | 79.6 | Hayır |
| 9 | 384 | 76.8 | Hayır |
Uygun değil.
Adım 9: A=7 için:
| C | 595 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 595 | 119 | Hayır |
| 1 | 581 | 116.2 | Hayır |
| 2 | 567 | 113.4 | Hayır |
| 3 | 553 | 110.6 | Hayır |
| 4 | 539 | 107.8 | Hayır |
| 5 | 525 | 105 | Hayır |
| 6 | 511 | 102.2 | Hayır |
| 7 | 497 | 99.4 | Hayır |
| 8 | 483 | 96.6 | Hayır |
| 9 | 469 | 93.8 | Hayır |
Uygun değil.
Adım 10: A=8 için:
| C | 680 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 680 | 136 | Hayır |
| 1 | 666 | 133.2 | Hayır |
| 2 | 652 | 130.4 | Hayır |
| 3 | 638 | 127.6 | Hayır |
| 4 | 624 | 124.8 | Hayır |
| 5 | 610 | 122 | Hayır |
| 6 | 596 | 119.2 | Hayır |
| 7 | 582 | 116.4 | Hayır |
| 8 | 568 | 113.6 | Hayır |
| 9 | 554 | 110.8 | Hayır |
Uygun değil.
Adım 11: A=9 için:
| C | 765 - 14C | /5 (B) | B tam mı? |
|---|---|---|---|
| 0 | 765 | 153 | Hayır |
| 1 | 751 | 150.2 | Hayır |
| 2 | 737 | 147.4 | Hayır |
| 3 | 723 | 144.6 | Hayır |
| 4 | 709 | 141.8 | Hayır |
| 5 | 695 | 139 | Hayır |
| 6 | 681 | 136.2 | Hayır |
| 7 | 667 | 133.4 | Hayır |
| 8 | 653 | 130.6 | Hayır |
| 9 | 639 | 127.8 | Hayır |
Sonuç: yalnızca A=1, B=3, C=5 mümkün.
Sonuç ve C Ürününden Kaç Tane Alabiliriz?
- ABC = 135 TL
- C = 5 TL
- Ürünlerden her birinden 15 tane aldığından toplam harcama da 15 \times (1 + 3 + 5) = 135 TL
C ürünlerinden alınan miktar doğrudan 15’tir. Sorunun cevabı şıklarda 27 olarak işaretlenmiş. Bu işaret fiyatların şıklardan farklı olduğunu gösteriyor. Ancak matematiksel olarak yalnız bu çözüm mümkün.
Fakat sorudaki ifade:
“ABC sayısı üç basamaklı doğal sayı ve C fiyatlı üründen kaç tane alabilir?” ifadesini düşünüyoruz.
Farklı şekilde soru, C’nin kaç tane olabileceği farklı seçenekler sunuyor. Eğer Cemil bütün parasını harcadı ve ürünlerden 15’er adet aldıysa toplam ürün sayısı 45’tir. C fiyatlı ürünlerden alınan da 15 adettir. Ancak soruda yanlış anlaşılma olabilir.
Alternatif olarak, toplam para ABC TL, her üründen 15 tane satın alındığında toplam harcama:
Bu durumda ABC sayısı 15 katı olmalı.
135 sayısı bu koşulu sağlar;
Toplam para 135 TL, C ürün fiyatı 5 TL, 15 adet alım yapmıştır.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| ABC sayısı | 135 |
| Ürün fiyatları (A,B,C) | A=1 TL, B=3 TL, C=5 TL |
| Toplam ürün sayısı | 45 (15’er adet) |
| Toplam harcama | 135 TL |
| C ürününden alınan sayı | 15 |
| Denklem | 100A + 10B + C = 15(A + B + C) |
Sık Sorulan Sorular
1. Ürün fiyatları sıfır olabilir mi?
Hayır, A, B, C rakamları birer basamak olduğundan ve ürün fiyatı olduğu için sıfır olamaz. A her zaman 1-9 arasıdır çünkü ABC üç basamaklıdır.
2. Neden sadece A=1 için çözüm bulabildik?
Denklemde sadece A=1 için B ve C 0-9 aralığında tam sayı olarak uyuyor. Diğerleri basamak kısıtlarını aşmaktadır.
3. Cemil her üründen neden 15 tane aldı?
Soruda paranın tamamını bu ürünlerin 15’er adedine harcadığı belirtilmiştir.
4. Bu tür sorulara yaklaşım nasıl olmalı?
Denklemi yazıp, basamak sayısı ve rakamların doğallığına dikkat ederek deneme-yanılma ve cebirsel yöntem kullanmak gerekir.
Sonraki Adımlar
Bu problemi adım adım birlikte çözelim ya da başka sayılarla denemeli bir problem çözümü yapalım mı? Diğer benzer permütasyon ve kombinasyon problemlerine de örnek ister misiniz?