Soru: AGEB dörtgeninin alanı kaç cm²’dir?
Anahtar Çıkarımlar
- ABCD dikdörtgeninin kenar uzunlukları AB = 18 cm, BC = 12 cm.
- AD kenarı 2 eş parçaya (6 cm + 6 cm), DC kenarı 3 eş parçaya (6 cm’er) bölünmüş.
- Koordinat yöntemiyle (şerit alanı/çokgen alanı formülü) alan kolayca hesaplanır.
Doğrudan Cevap: AGEB dörtgeninin alanı 126 cm²’dir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Koordinat sistemi seçin:A=(0,0),\quad B=(18,0),\quad C=(18,12),\quad D=(0,12).
- Noktaların konumları:
- AD kenarını 2 eş parçaya bölünceG=(0,6).
- DC kenarını 3 eş parçaya bölünceE=(6,12)\quad(\text{ve }F=(12,12)\text{, C ise }(18,12)).
- AD kenarını 2 eş parçaya bölünce
- Dörtgen sıralaması:A\,(0,0)\;\to\;G\,(0,6)\;\to\;E\,(6,12)\;\to\;B\,(18,0)\;\to\;A.
- Alanı “shoelace” formülüyle hesaplayın:\text{Alan} = \frac12\Bigl|\sum_{i=1}^n x_i y_{i+1} \;-\; \sum_{i=1}^n y_i x_{i+1}\Bigr| = \frac12\bigl|0 - 252\bigr| = 126.
Özet Tablosu
| Eleman | Koordinat | Not |
|---|---|---|
| A | (0, 0) | Dikdörtgenin sol alt köşesi |
| G | (0, 6) | AD kenarının orta noktası |
| E | (6, 12) | DC kenarının birinci eş bölme noktası |
| B | (18, 0) | Dikdörtgenin sağ alt köşesi |
| AGEB Alanı | — | 126\ \mathrm{cm}^2 |
SSS
S1: Shoelace formülü nedir ve nasıl uygulanır?
C1: Birçokgenin köşe koordinatlarına göre
formülünü kullanmaktır.
S2: Dikdörtgenin alanını doğrudan bölerek de hesaplayabilir miyiz?
C2: Evet; farklı bölme stratejileriyle üçgen veya yamuklara ayırarak da alana ulaşabilirsiniz.
S3: AD ve DC kenarları farklı oranlarda bölünse alan nasıl değişir?
C3: Bölme oranları değiştikçe G ve E noktalarının konumu ve çokgen şekli değişir; yeni koordinatlarla formülü tekrarlamak gerekir.
S4: Başka bir çözüm yöntemi önerir misiniz?
C4: Paralel çizgiler ve benzerlik kullanarak alan oranlarını da inceleyebilirsiniz.
Bu çözümü farklı bir yöntemle görmek veya benzer alıştırma soruları ister misiniz?
@Mrc_Kalin
AGE B Dörtgeninin Alanı Kaç cm² Dir?
Önemli Noktalar
- ABCD dikdörtgeninin kenar uzunlukları 18 cm (AB) ve 12 cm (BC)
- AD kenarı 2 eş parçaya, DC kenarı ise 3 eş parçaya bölünmüştür
- AGE B çokgeni ABCD içinde kalan, üçgen ve dörtgenlerden oluşan bir şekildir
- Amaç: AGE B çokgeninin alanını hesaplamak
AGEB dörtgeninin alanı, verilen bölmelere ve dikdörtgen özelliklerine göre parçaların koordinatlarını belirleyip, alanlar toplamından bulunur.
İçindekiler
Problemin Çözüm Adımları
- Kenarlardaki Bölen Noktaların Koordinatlarının Belirlenmesi
Dikdörtgen ABCD olarak düşünelim:
-
A(0,0), B(18,0), C(18,12), D(0,12)
-
AD kenarı 2 eş parçaya ayrılmış → E noktası AD’nin ortasında: E(0,6)
-
DC kenarı 3 eş parçaya ayrılmış → F noktası DC’nin 1/3’ünde, G noktası 2/3’ünde:
- F(6,12), G(12,12) olarak alabiliriz (soldan sağa)
- AGEB Çokgeninin Köşeleri: A, G, E, B noktalarından oluşuyor. Koordinatlar:
- A(0,0), G(12,12), E(0,6), B(18,0)
- Alan Hesabı: Çokgenin alanını koordinat metodu (shoelace formula) ile hesaplayabiliriz.
Shoelace formülü:
Sıra ile noktalar: A(0,0), G(12,12), E(0,6), B(18,0)
Hesaplama:
- x_1 y_2 = 0 \times 12 = 0
- x_2 y_3 = 12 \times 6 = 72
- x_3 y_4 = 0 \times 0 = 0
- x_4 y_1 = 18 \times 0 = 0
Toplam (1): 0 + 72 + 0 + 0 = 72
- y_1 x_2 = 0 \times 12 = 0
- y_2 x_3 = 12 \times 0 = 0
- y_3 x_4 = 6 \times 18 =108
- y_4 x_1 = 0 \times 0 = 0
Toplam (2): 0 + 0 + 108 + 0 = 108
Alan:
Ancak 18 cm² çok küçük ve şıklarda yok. Doğruluğu için yöntemimizi tekrar kontrol edelim.
Burada noktaların sıralamasına dikkat etmek gerekir. Doğru sıra: A, E, G, B olabilir. Düzeltelim.
Düzgün çokgen: A(0,0), E(0,6), G(12,12), B(18,0)
Yeniden hesaplama:
- x_1 y_2 = 0 \times 6 = 0
- x_2 y_3 = 0 \times 12 = 0
- x_3 y_4 = 12 \times 0 = 0
- x_4 y_1 = 18 \times 0 = 0
Toplam (1) = 0
- y_1 x_2 = 0 \times 0 = 0
- y_2 x_3 = 6 \times 12 = 72
- y_3 x_4 = 12 \times 18 = 216
- y_4 x_1 = 0 \times 0 = 0
Toplam (2) = 288
Alan = \frac{1}{2} |0 - 288| = \frac{1}{2} \times 288 = 144 \text{ cm}^2
Bu sonuç D şıkkına eşittir.
Pro Tip: Poligon alanını hesaplarken noktaların sırasına çok dikkat edin; saat yönünde ya da saat yönünün tersinde devam eden sıralar farklı sonuç verir.
Alan Hesaplamasının Detayları
- Dikdörtgenin toplam alanı: 18 \times 12 = 216 \text{ cm}^2
- AGE B dörtgeni, dikdörtgenin içinde kalan ve farklı kenar bölmelerinden elde edilen çokgendir
- Bölmeler sayesinde noktaların koordinatlarını bulmak mümkündür
- Alan hesaplamada shoelace (ayakkabı bağlayıcı) formülü kolay ve kesin sonuç verir
- Bu soruda doğru nokta sıralaması alanı 144 cm² olarak veriyor ve şıklarda da bulunuyor
Uyarı: Koordinatları yanlış almak ve nokta sırasını karıştırmak alanda büyük hatalara yol açar. Rakamları kontrol etmek önemlidir.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Dikdörtgen kenarları | 18 cm (AB), 12 cm (BC) |
| AD kenar bölümü | 2 eş parçaya bölünmüş, E noktası (0,6) |
| DC kenar bölümü | 3 eş parçaya bölünmüş, G noktası (12,12) |
| Çokgen köşeleri | A(0,0), E(0,6), G(12,12), B(18,0) |
| Alan hesaplama yöntemi | Shoelace formülü (koordinat alan hesabı) |
| Sonuç | 144 cm² |
| Doğru cevap | D) 144 |
Sık Sorulan Sorular
1. Shoelace (Ayakkabı Bağlayıcı) Formülü nedir?
Çokgen koordinatları verilen bir şeklin alanını hesaplamak için kullanılan matematiksel yöntemdir. Formül, noktalar saat yönünde ya da tersinde sıralanıp x ve y koordinatlarının çarpımları üzerinden alan belirlenir.
2. Kenar bölmedeki noktaların koordinatları nasıl bulunur?
Kenarı eş parçalara böldüğünüzde, bölme noktasının koordinatı kenar uzunluğunun bu oranda kısımlanmasıyla doğru orantılıdır. Örneğin, 12 cm olan kenar 3 eşit parçaya bölünürse, her parça 4 cm oluyor.
3. Alan neden 144 cm² oldu, 216 cm² neden değil?
216 cm² dikdörtgenin toplam alanıdır. AGE B dörtgeni dikdörtgenin sadece bir kısmını içerir; dolayısıyla alanı daha küçüktür.
4. Başka bir yöntemle çözülebilir mi?
Evet, trapez alan veya üçgen alanları hesaplayarak da toplam alan bulunabilir fakat koordinat yöntemi en doğrusudur.
Sonraki Adımlar
Bu tip geometri sorularında koordinatları ve alan formüllerini kullanmak üst düzey başarı sağlar. İsterseniz koordinat geometri ve alan hesaplama teknikleri hakkında daha fazla örnek çözümü hazırlayabilirim. Ayrıca, nokta bölme ve oran problemlerine dair detaylı içerik ister misiniz?