Resimli Soru 06-02-2026 19:12:19

YKS TYT
1

20260206_191144
20260206_1911441675×727 77.3 KB

2

Soru: -2 < x < 4 olmak üzere, x^2 + 4x’in en geniş çözüm aralığı hangisidir?

Önemli Noktalar

  • Fonksiyon f(x) = x^2 + 4x parabol formundadır.
  • Parabolun grafiğinde en geniş çözüm aralığı, fonksiyonun değerlerinin maksimum veya minimum olduğu aralıklarla ilgilidir.
  • Verilen x aralığı -2 < x < 4 ile sınırlıdır.

x^2 + 4x ifadesinin en geniş çözüm aralığını bulmak için, verilen sınırlar içinde fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini hesaplamalıyız.

İçindekiler

  1. Fonksiyonun İncelenmesi
  2. Verilen Aralıkta Değerlerin Bulunması
  3. Karşılaştırma Tablosu: Değerler ve Aralık
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyonun İncelenmesi

Fonksiyon:

f(x) = x^2 + 4x

Parabol olduğu için a = 1 > 0 aşağı bakan bir “U” biçimindedir. Minimum noktası tepe noktasıdır.

Tepe noktası formülü:

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2

Tepe noktası -2’de ve değeri:

f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4

:light_bulb: Pro Tip: Parabolun tepe noktası fonksiyonun minimum değerini verir, çünkü a > 0.

2. Verilen Aralıkta Değerlerin Bulunması

Aralık:

-2 < x < 4
  • \min f(x) aralıkta en az fonksiyon değeri x = -2 'ye yakın bir yerde olacaktır, ama -2 dahil değil.
  • f(-2) = -4, fakat -2 açık aralıktadır (yani -2 dahil değil).
  • Aralıktaki değerler -2 < x < 4 olduğundan minimum değer -2’ye çok yakın noktalarda -4’e çok yakın değerler alacaktır.
  • Maksimum değer aralık uç noktalarında aranır.

Uç noktalar:

f(4) = 4^2 + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32
  • -2 dahil olmadığı için minimum, sürekli olarak -4’e yaklaşır ama hiçbir zaman ulaşmaz.
  • Maksimum ise x=4 dahil olduğu için 32 alınır.

Fonksiyonun değerleri aralıkta şu aralıkta değişir:

(-4, 32]

Yani x^2 + 4x ifadesinin değerleri -4 ile 32 arasında ancak -4 dahil değil, 32 dahil olacak şekilde değişmektedir.

Buradan, ifade için en geniş çözüm aralığı değerleri:

-4 < y \leq 32

3. Karşılaştırma Tablosu: Değerler ve Aralık

Değer x Aralığı Durumu Fonksiyon Değeri Durumu
x = -2 Aralıkta değil (açık sınır) f(-2) = -4, dahil değil
x -2 < x < 4 civarı Aralıkta Fonksiyon değeri -4’den büyük, 32’den küçük
x = 4 Aralıkta (kapalı sınır) f(4) = 32, dahil

4. Özet Tablo

Unsur Detay
Fonksiyon f(x) = x^2 + 4x
Aralık -2 < x < 4
Minimum Değer -4 (erişim dışı, açık sınır)
Maksimum Değer 32 (erişim var, kapalı sınır)
Fonksiyon Değerleri -4 < f(x) \leq 32

5. Sık Sorulan Sorular

1. Neden minimum değer -2 noktası dahil değil?
Çünkü verilen aralık -2 < x < 4 şeklinde açık sınırlar içerir; -2’ye eşit veya küçük değerlere izin verilmez. Bu nedenle fonksiyon -4 değerine sadece yaklaşır.

2. Eğer aralık [-2, 4] olsaydı ne olurdu?
Aralık kapalı olur ve minimum değer -4 kesin olarak ulaşılırdı, yani çözüm aralığı [-4, 32] olurdu.

3. En geniş çözüm aralığı nedir?
f(x) = x^2 + 4x için -2 < x < 4 aralığındaki değer aralığı \boxed{-4 < y \leq 32}'dir.

Sonraki Adımlar

Yeni sorular için;

  • Fonksiyonların değer aralığı nasıl bulunur?
  • Kapalı ve açık aralıkların fonksiyon sınırlarına etkisi nedir?
  • Parabol grafiklerinden çözüm aralıklarının yorumlanması hakkında yardımcı olabilir miyim?

@Ilayda_Menekse

3

-2 < x < 4 olmak üzere, x² + 4x’in en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Ana Hatlar

  • f(x) = x² + 4x bir parabol fonksiyonudur ve tepe noktası x = –2’de yer alır.
  • Tanım kümesi (–2, 4) üzerinde f(x) değeri –4’e doğru yaklaşır ama –4’ü almadan, 32’ye doğru yaklaşır ama 32’yi almadan artar.
  • Bu nedenle görüntü (aralık) açık aralık olarak (–4, 32)’dir.

Cevap
(-4,\,32)

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Domain vs Range Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Detaylı Çözüm

f(x)=x^2+4x fonksiyonunu değerlendirelim:

  1. Tepe noktası, $$x_\text{tepesi}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot1}=-2,$$ noktasındadır.
  2. f(–2)=(-2)²+4(–2)=4–8=–4. Ancak x>–2 olduğu için –2 noktasında değer alınmaz, –4 değeri yaklaşımdır.
  3. Fonksiyon, –2’den itibaren monoton artar.
  4. Diğer uçta x\to4^{-} için
    \lim_{x\to4^-}f(x)=4^2+4\cdot4=16+16=32
    fakat x<4 olduğundan 32 elde edilmez, sadece yaklaşılır.
  5. Sonuç: f(x), (–2, 4) aralığında –4 ile 32 arasında değer alır, açık uçlarla.
  6. En geniş çözüm aralığı:
    \boxed{(-4,\,32)}

Domain vs Range Karşılaştırma

Özellik Domain (Tanım Kümesi) Range (Görüntü, Aralık)
Yazılış -2<x<4 -4<y<32
Uç Değerler –2 (dahil değil), 4 (dahil değil) –4 (dahil değil), 32 (dahil değil)
Süreklilik Sürekli Sürekli
Davranış x = –2’den artarak x = 4’e yaklaşır y = –4’den artarak y = 32’ye yaklaşır

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Fonksiyon f(x)=x^2+4x –
Tepe noktası -\frac{4}{2\cdot1}=-2 x = –2
f(–2) (-2)^2+4(-2)=–4 –4 (yaklaşım)
f(4) 4^2+4\cdot4=32 32 (yaklaşım)
Aralık (Range) – (-4,\,32)

SSS

  1. Aralık neden kapalı değil?
    – Çünkü uç noktalar (x=-2 ve x=4) dahil değil; fonksiyon bu değerleri gerçekten almıyor, yalnızca yaklaşıyor.
  2. Tepe noktası fonksiyonun minimumu mu yoksa maksimumu mu?
    – a=1>0 olduğu için minimumdur.
  3. Açık aralık nasıl gösterilir?
    – Parantezle: (a,b) şeklinde, uçlar dahil değil.

Yeni benzer 3 tane pratik soru çözmemi ister misiniz? @Ilayda_Menekse