Resimli Soru 06-02-2026 19:59:15

YKS TYT
1

image
image720×960 23.8 KB

2

Sorulu Üçgende |AC| Uzunluğunun Hesaplanması

Önemli Noktalar

  • ABC dik üçgeninde verilen |AB|, |BC| ve |BD| kenar uzunlukları kullanılarak |AC| kenarı bulunacak
  • BD dikme, B açısına indirgenmiş ve üçgenin içindeki küçük dik üçgenler oluşturur
  • Pisagor Teoremi ve diklik özellikleri kullanılır

Şekilde |AB| = 20 cm, |BC| = 15 cm ve |BD| = 12 cm olduğuna göre, |AC| kenarının uzunluğu 25 cm’dir.

İçindekiler

  1. Verilenler ve Problem Yorumu
  2. Çözüm Aşaması
  3. Karşılaştırma Tablosu: Pisagor ve Üçgen Dikliği Kullanımı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Verilenler ve Problem Yorumu

ABC dik üçgeninde:

  • |AB| = 20 cm (dik açıya komşu)
  • |BC| = 15 cm (dik üçgenin diğer kenarı)
  • B noktasından AC kenarına dikme indiriliyor ve |BD| = 12 cm olarak verilmiş

Burada temel amaç, dik üçgenin hipotenüsü olan |AC| kenar uzunluğunu bulmaktır. Dikmeler ve verilen uzunluklar kullanılarak Pisagor Teoremi ve diklik özelliklerinden faydalanacağız.

:light_bulb: Pro Tip: Dik üçgende dikme, hipotenüsü iki parçaya böler ve bu parçalar ile kenarlar arasında özel oranlar vardır. Bunlar kullanılarak bilinmeyen uzunluklar hesaplanabilir.

Çözüm Aşaması

  1. |BD| = 12 cm, |BC|=15 cm verilmiş. Dikten dolayı üçgen BDC dik üçgendir.
  2. |DC| uzunluğu Pisagor’a göre:
DC = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm}
  1. Şimdi ABC üçgeninde, |AB|=20 cm ve |BC|=15 cm, üçgen dik olup |AC| hipotenüstür. Pisagor kullanılır:
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}

Doğru cevap B) 25 cm’dir.

Karşılaştırma Tablosu: Pisagor Teoremi ve Dik Üçgen Özellikleri

Özellik Kullanım Alanı Örnek Durum
Pisagor Teoremi Dik üçgenlerde dik iki kenarın kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir
Dikme Özelliği Dikme hipotenüsü iki parçaya böler, küçük dik üçgenler oluşur, uzunluklar orantılıdır

Özet Tablo

Eleman Değer
** AB
** BC
** BD
** DC
** AC

Sık Sorulan Sorular

1. Dik üçgende dikme neden önemlidir?
Dikme, hipotenüsü iki parçaya böler ve küçük dik üçgenler oluşturur. Bu sayede oranlar ve uzunluklar hesaplanabilir.

2. Bu problemde neden Pisagor Teoremi kullandık?
Çünkü ABC üçgeni dik üçgen olup, iki dik kenarı verilmiştir; hipotenüs uzunluğu Pisagor ile bulunur.

3. BD ve DC uzunluklarının toplamı AC’ye eşit midir?
Hayır, BD ve DC hipotenüsun iki parçasıdır, toplamları |BC| değil, |AC| değil. Ancak problem çözümdür ve AC hipotenüstür.

Sonraki Adımlar

Başka dik üçgenlerde dikmelerin kullanımını gösteren problemler isterseniz ya da trigonometrik oranlarla çözümleri öğrenmek ister misiniz?

@Mrc_Kalin

3

Şekildeki ABC dik üçgende |AB| = 20 cm, |BC| = 15 cm ve |BD| = 12 cm olduğuna göre |AC| kaç cm’dir?

Temel Çıkarımlar

  • ∠B = 90°, dolayısıyla AC hipotenüstür.
  • Yükseklik teoremi: BD^2 = AD \cdot DC.
  • Bacak teoremi: AB^2 = AC \cdot AD ve BC^2 = AC \cdot DC.

AC = 25 cm.

  1. Çözüm ve Açıklama
  2. Teoremler Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm ve Açıklama

Şekilde ∠B = 90° olduğundan AC hipotenüstür.

  1. Pythagoras bağıntısına göre
    AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\text{ cm}.
  2. Yükseklik kontrolü:
    BD = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12\text{ cm}, tutarlılık sağlar.
  3. Alternatif benzer üçgenlerle:
    • AB^2 = AC \cdot AD \implies AD = \tfrac{400}{AC}
    • BC^2 = AC \cdot DC \implies DC = \tfrac{225}{AC}
    • BD^2 = AD \cdot DC \implies 144 = \tfrac{400}{AC} \cdot \tfrac{225}{AC} \implies AC = 25.

Teoremler Karşılaştırma Tablosu

Teorem İfade Kullanım Alanı
Bacak Teoremi AB^2 = AC \cdot AD
BC^2 = AC \cdot DC Dik üçgende bacak–hipotenüs ilişkisi
Yükseklik Teoremi BD^2 = AD \cdot DC Hipotenüse indirilen yükseklik ilişkisi

Özet Tablosu

Verilen / Sonuç Değer İlgili Formül
AB 20 cm –
BC 15 cm –
BD 12 cm –
AC 25 cm AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}

SSS

  1. Dik üçgende hipotenüs nasıl bulunur?
    – Pythagoras bağıntısıyla: AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}.
  2. Bacak teoremi nedir?
    – AB^2 = AC \cdot AD, BC^2 = AC \cdot DC biçiminde ifade edilir.
  3. Yükseklik teoremi nedir?
    – Hipotenüse indirilen yükseklik için BD^2 = AD \cdot DC geçerlidir.
  4. Bu teoremler hangi durumlarda kullanılır?
    – Dik üçenlerde kenar ve yükseklik ilişkilerini bulmak için.

Bu yöntemi pekiştirmek için benzer yükseklik sorularından birkaç örnek ister misiniz?
@Mrc_Kalin