Çözüm: Verilen Eşitsizliği Sağlayan x Doğal Sayılarının Sayısı ve n Değeri
Önemli Noktalar
- Verilen eşitsizlik: \frac{x-2}{n+4} \leq 5
- n doğal sayı ve x doğal sayılar
- Eşitsizliği sağlayan x doğal sayılarının toplamı 42
- Amaç: Bu şartları sağlayan n değerini bulmak
\frac{x-2}{n+4} \leq 5 eşitsizliği önce düzenlenir:
x doğal sayı olduğuna göre, x \geq 1 ve
Verilen bilgiye göre, bu eşitsizliği sağlayan tüm x doğal sayılarının sayısı 42’dir.
Buna göre:
Çünkü doğal sayıların sayısı, en büyük ile en küçük arasındaki fark + 1’dir. Burada
- En küçük x=1
- En büyük x=5n+22
- Sayı adedi: (5n+22) - 1 + 1 = 5n+22
Şimdi denklemi çözelim:
Cevap:
E şıkkı: 4
İçindekiler
Problemin Analizi
- Eşitsizliğin amacı x için sınır belirlemek
- n doğal sayı ve sabit, x ise sınır içinde değişen doğal sayı
- Soruda belirlenen x değerlerinin adedi 42 verilmiş
- Problemi çözmek için eşitsizliği önce x’e göre düzenlemek gerekir
Pro Tip: Eşitsizlikte x için maksimum değeri bulup, tüm doğal sayılar 1’den başlayıp o değere kadar sayılır. Böylece kaç adet x olduğunu tespit etmek kolaydır.
Matematiksel İşlem ve Sonuç
- x \geq 1 doğal sayı olduğu için
- Toplam uygun x sayısı: 5n + 22
Verilen:
Özet Tablo
| Veri | Açıklama |
|---|---|
| Eşitsizlik | \frac{x - 2}{n + 4} \leq 5 |
| x aralığı | 1 \leq x \leq 5n + 22 |
| Toplam x sayısı | 5n + 22 |
| Verilen x sayısı | 42 |
| Çözüm: n | 4 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden x 1’den başlıyor?
x doğal sayı olduğundan, doğal sayılar 1’den başlar. Sıfır veya negatif sayı değildir.
2. n neden doğrudan çözülebilir?
Eşitsizliği sağlayan x’lerin sayısı, x aralığının genişliği olan 5n+22 ile eşittir. Verilen bilgi ile denklemi kurup n bulunur.
3. Eşitsizlikte eşitlik durumu nasıl ele alınır?
Soruda \leq olduğu için eşitliğin sağlandığı durumlar da geçerlidir; bu yüzden üst sınır 5n + 22 olarak alınır.
4. n doğal sayı diye ne anlaşılıyor?
n sıfır ve pozitif tam sayı olabilir; burada sonuç pozitif tam sayı olan 4 bulunmuştur.
5. x doğal sayıların toplam sayısını nasıl hesapladık?
Aralıkta a ve b doğal sayıları varsa, sayı adedi (b - a +1) şeklindedir.
Sonraki Adımlar
Bu tür problemlerde eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi daha detaylı bir örnekle öğrenmek ister misiniz?
12. n doğal sayı olmak üzere, \frac{x - 2}{n + 4} < 5 eşitsizliğini sağlayan tüm x doğal sayıları 42 tanedir. Buna göre, n kaçtır?
Önemli Noktalar
- Eşitsizlik \frac{x-2}{n+4}<5 dönüşümü:x-2 < 5(n+4)\;\Longrightarrow\;x < 5n + 22.
- Türkçe TYT sorularında “doğal sayılar” genellikle x \ge 0 olarak kabul edilir.
- x\in\{0,1,2,\dots,5n+21\} kümesinin eleman sayısı 5n+22 olduğunda bu sayı 42’ye eşittir.
Direkt Cevap: n = 4
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Eşitsizlikten başlayalım:\frac{x-2}{n+4} < 5 \quad\Longrightarrow\quad x-2 < 5(n+4) \quad\Longrightarrow\quad x < 5n + 22.
- “Tüm x doğal sayıları” derken x\ge0 alınır.
Böylece0 \le x < 5n+22 \quad\Longrightarrow\quad x \in \{0,1,2,\dots,5n+21\}. - Bu kümenin eleman sayısı 5n+22 olur ve soruya göre bu sayı 42’dir:5n + 22 = 42 \quad\Longrightarrow\quad 5n = 20 \quad\Longrightarrow\quad n = 4.
Karşılaştırma Tablosu
| Doğal Sayı Tanımı | x Kümesi | Çözüm | Eleman Sayısı |
|---|---|---|---|
| Sıfırdan başlar | \{0,1,2,\dots\} | x<5n+22 ⇒ \{0,\dots,5n+21\} | 5n+22 |
| Birden başlar | \{1,2,3,\dots\} | x<5n+22 ⇒ \{1,\dots,5n+21\} | 5n+21 |
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Eşitsizlik sadeleştirme | \frac{x-2}{n+4}<5 ⇒ x<5n+22 | x < 5n + 22 |
| Doğal sayı aralığı | x\ge0 | 0 \le x \le 5n+21 |
| Eleman sayısı eşitliği kurulması | 5n+22 = 42 | n = 4 |
SSS
Q1: Doğal sayılar tanımına neden 0 dahil ediliyor?
A1: TYT ve okul kitaplarında “doğal sayı” genellikle \{0,1,2,\dots\} olarak kullanılır.
Q2: Eğer doğal sayılar \{1,2,3,\dots\} kabul edilseydi ne olurdu?
A2: O zaman eleman sayısı 5n+21=42 olur, 5n=21 ifadesinden tam bir n değeri elde edilemez.
Q3: Eşitsizlik yönü ne zaman değişir?
A3: Eşitsizliği negatif bir sayı ile çarparsanız veya bölerseniz yön değişir; bu soruda bölen n+4 pozitif alındı.
Q4: Alternatif bir çözüm yöntemi var mı?
A4: Deneme-yanılma ile seçenekler arasından n=4 değerini koyup kaç x sağlandığını kontrol edebilirsiniz.
Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir soru ister misiniz?
@Ilayda_Menekse