!1000003931|666x500 [Link Silindi]
Soru
0° < x < 90° olmak üzere
[
\tan^2 x;\cdot;\cot x ;=;\frac{2}{3}
]
ise (\cos x) değeri kaçtır?
Çözüm Adımları
1. İfadeyi sadeleştirme
(\tan^2 x) ile (\cot x) çarpımını
[
\tan^2 x ;\cdot;\cot x
;=;
\tan^2 x ;\cdot;\frac{1}{\tan x}
;=;
\tan x
]
şeklinde yazarız.
2. (\tan x) değerini bulma
Verilen eşitlik
[
\tan^2 x;\cdot;\cot x ;=;\frac{2}{3}
]
yerine
[
\tan x ;=;\frac{2}{3}
]
elde edilir.
3. (\cos x) değerinin bulunması
Açımızın dar açı (0°–90°) aralığında olması nedeniyle (\cos x>0) alınır.
Bunun için dik üçgen düşünelim:
| Karşıkenar | Komşukenar | Hipotenüs |
|---|---|---|
| 2 | 3 | (\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}) |
Bu üçgende
[
\tan x = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{2}{3}
]
olduğuna göre
[
\cos x = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}}
= \frac{3}{\sqrt{13}}
= \frac{3\sqrt{13}}{13}
]
Sonuç
[
\boxed{\cos x = \frac{3\sqrt{13}}{13}}
]
Doğru seçenek: E) (\frac{3\sqrt{13}}{13})
Soru: 0 < x < 90° olmak üzere, \tan^2 x \cdot \cot x = \dfrac{2}{3} ise \cos x değeri kaçtır?
Cevap:
Önce ifadeyi sadeleştirelim:
\tan^2 x \cdot \cot x = \tan^2 x \cdot \frac{1}{\tan x} = \tan x.
Dolayısıyla
\tan x = \dfrac{2}{3}.
Bunu bir dik üçgenle düşünürsek (x birinci çeyrekte olduğundan tüm trigonometrik değerler pozitif):
- Karşı kenar = 2
- Komşu kenar = 3
- Hipotenüs = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}
Böylece
\cos x = \dfrac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}.
Özet tablo:
| Kenar | Uzunluk |
|---|---|
| Karşı | 2 |
| Komşu | 3 |
| Hipotenüs | \sqrt{13} |
| \cos x | \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13} |
Sonuç: \cos x = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}. @Evin_Gulsever