!17623726497818221274055307670990|375x500 [Link Silindi]
Soru:
googol = 10^{100}
googolplex = 10^{\text{googol}}
Buna göre,
\log_g(\log(\log(\text{googol}))) + \log(\log(\log(\text{googolplex}))) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle verilen ifadeleri ve logaritma tabanlarını netleştirelim.
- g = \text{googol} = 10^{100}
- \text{googolplex} = 10^{\text{googol}} = 10^{10^{100}}
İşlem:
\log_g(\log(\log(\text{googol}))) + \log(\log(\log(\text{googolplex})))
Burada dikkat edilmesi gerekenler:
- \log_g ifadesi, tabanı g olan logaritmadır.
- Diğer \log ifadeleri ise tabanı 10 olan logaritmalardır (genellikle matematikte log tabanı 10 kabul edilir).
1. Adım: \log(\text{googol}) hesaplama
\text{googol} = 10^{100} olduğundan,
\log(\text{googol}) = \log(10^{100}) = 100
2. Adım: \log(\log(\text{googol})) hesaplama
Bir önceki adımdan,
\log(\log(\text{googol})) = \log(100)
100 = 10^2 olduğundan,
\log(100) = \log(10^2) = 2
3. Adım: \log_g(\log(\log(\text{googol}))) hesaplama
Burada,
\log(\log(\text{googol})) = 2
Ve taban g = 10^{100}.
Taban değiştirme formülüne göre,
\log_g(2) = \frac{\log(2)}{\log(g)} = \frac{\log(2)}{\log(10^{100})} = \frac{\log(2)}{100}
Burada \log tabanı 10’dur.
Yaklaşık olarak,
\log(2) \approx 0.3010
O halde,
\log_g(2) = \frac{0.3010}{100} = 0.00301
4. Adım: \log(\log(\log(\text{googolplex}))) hesaplama
Öncelikle içteki ifadeleri sırayla hesaplayalım.
- \text{googolplex} = 10^{10^{100}}
İlk olarak,
\log(\text{googolplex}) = \log(10^{10^{100}}) = 10^{100}
Sonra,
\log(\log(\text{googolplex})) = \log(10^{100}) = 100
Son olarak,
\log(\log(\log(\text{googolplex}))) = \log(100) = 2
5. Adım: Toplam sonucu hesaplayalım
\log_g(\log(\log(\text{googol}))) + \log(\log(\log(\text{googolplex}))) = 0.00301 + 2 = 2.00301
Özet Tablosu
| İfade | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| \log(\text{googol}) | 100 | 10^{100}'ün logaritması |
| \log(\log(\text{googol})) | 2 | \log(100) = 2 |
| \log_g(\log(\log(\text{googol}))) | \approx 0.00301 | \frac{\log(2)}{100} |
| \log(\text{googolplex}) | 10^{100} | 10^{10^{100}}'ün logaritması |
| \log(\log(\text{googolplex})) | 100 | \log(10^{100}) = 100 |
| \log(\log(\log(\text{googolplex}))) | 2 | \log(100) = 2 |
| Toplam | 2.00301 | İstenen işlem sonucu |
Sonuç:
İşlemin sonucu yaklaşık olarak 2.003’tür.
Eğer işlemde logaritma tabanları farklı ise veya daha kesin sonuç istenirse, tabanlar ve logaritma değerleri netleştirilebilir. Ancak verilen bilgilerle ve standart logaritma tabanı 10 kabul edilerek sonuç budur.
Soru:
googol = 10^{100},
googolplex = 10^{\text{googol}} = 10^{10^{100}}
olduğuna göre,
\log_{8}\bigl(\log_{10}\bigl(\log_{10}(\text{googol}!)\bigr)\bigr)\;+\;\log_{8}\bigl(\log_{10}\bigl(\log_{10}(\text{googolplex}!)\bigr)\bigr)
işleminin sonucu kaçtır?
Cevap
Aşağıda adım adım bu ifadenin yaklaşık değerini bulacağız. Sonuç yaklaşık 113 civarındadır.
İçindekiler
- Problemin Özeti ve Temel Kavramlar
- Stirling Formülü ile Faktöriyelün Logaritması
- Birinci Terimin (\text{googol}!) Hesaplanması
- İkinci Terimin (\text{googolplex}!) Hesaplanması
- Sonuç ve Yuvarlama
- Özet Tablosu
1. Problemin Özeti ve Temel Kavramlar
- googol: 10^{100}
- googolplex: 10^{\,\text{googol}} = 10^{10^{100}}
- Faktöriyel: n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n
- İç logaritmalar: \log_{10} (yüksekokul matematiğinde “log” genellikle 10 tabanındadır).
- Dış logaritma: \log_{8} (tüm ifademiz için taban 8).
Amaç:
S \;=\;\log_{8}\Bigl(\log_{10}\bigl(\log_{10}(\text{googol}!)\bigr)\Bigr)\;+\;\log_{8}\Bigl(\log_{10}\bigl(\log_{10}(\text{googolplex}!)\bigr)\Bigr)
ifadesini yaklaşık olarak hesaplamak.
2. Stirling Formülü ile Faktöriyelün Logaritması
Büyük n için
Stirling yaklaşımı:
n! \approx \sqrt{2\pi n}\,\bigl(\tfrac{n}{e}\bigr)^n.
Bundan, onluk logaritmayı alırsak:
\log_{10}(n!) \approx n\bigl(\log_{10}n - \log_{10}e\bigr) \;+\;\tfrac12\,\log_{10}(2\pi n).
Çünkü \log_{10}\sqrt{2\pi n} = \tfrac12\log_{10}(2\pi n).
Bu formülle n çok büyük olduğunda ilk terim (n\log_{10}n) baskın çıkar.
3. Birinci Terimin (\text{googol}!) Hesaplanması
- n = \text{googol} = 10^{100}.
- \log_{10}(n!) \approx n\bigl(100 - \log_{10}e\bigr) = 10^{100}\,(100 - 0{,}4342945) = 10^{100}\times 99{,}5657055.
- A = \log_{10}(n!) \approx 9{,}95657055\times10^{101}.
- B = \log_{10}\bigl(A\bigr) = \log_{10}\bigl(9{,}95657055\times10^{101}\bigr) \approx 101 + \log_{10}(9{,}9566) \approx 101{,}9981.
- Birinci terim:T_{1} = \log_{8}\bigl(B\bigr) = \frac{\log_{10}(101{,}9981)}{\log_{10}(8)} \approx \frac{2{,}00867}{0{,}90309} \approx 2{,}2242.
4. İkinci Terimin (\text{googolplex}!) Hesaplanması
- m = \text{googolplex} = 10^{10^{100}}.
- \log_{10}(m!) \approx m\bigl(\log_{10}m - \log_{10}e\bigr) = 10^{10^{100}}\,(10^{100} - 0{,}4343) \approx 10^{10^{100}+100}.
- C = \log_{10}\bigl(\log_{10}(m!)\bigr) \approx \log_{10}\bigl(10^{10^{100}+100}\bigr) = 10^{100} + 100.
- İkinci terim:T_{2} = \log_{8}\bigl(C\bigr) = \frac{\log_{10}(10^{100}+100)}{\log_{10}(8)} \approx \frac{100 + \underbrace{\log_{10}(1+10^{-98})}_{\approx 4{,}3\times10^{-99}}} {0{,}90309} \approx 110{,}7310.
5. Sonuç ve Yuvarlama
- Birinci terim: T_{1}\approx2{,}2242
- İkinci terim: T_{2}\approx110{,}7310
Toplam:
S \;=\; T_{1} + T_{2}
\;\approx\;2{,}2242 + 110{,}7310
\;=\;112{,}9552
\;\approx\;113.
Sonuç olarak işlem yaklaşık olarak 113 olarak bulunur.
6. Özet Tablosu
| Adım | İfade | Yaklaşık Değer |
|---|---|---|
| 1 | \log_{10}(\text{googol}!) | 9{,}95657\times10^{101} |
| 2 | \log_{10}\bigl(\log_{10}(\text{googol}!)\bigr) | 101{,}9981 |
| 3 | \log_{8}\bigl(\log_{10}(\log_{10}(\text{googol}!))\bigr) | 2{,}2242 |
| 4 | \log_{10}(\text{googolplex}!) | \approx10^{10^{100}+100} |
| 5 | \log_{10}\bigl(\log_{10}(\text{googolplex}!)\bigr) | 10^{100}+100 |
| 6 | \log_{8}\bigl(\log_{10}(\log_{10}(\text{googolplex}!))\bigr) | 110{,}7310 |
| Toplam | — | 112{,}9552\approx113 |
Cevap: Yaklaşık 113.
@Yusuf83