Fatma Hanım, üzerindeki tam sayıların yer aldığı eşit bölmeleri ayırmış yukarıdaki çarkı döndürüp sabit olan 1, 2 ve 3 numaralı okların gösterdiği sayıları not ediyor. Çarkı döndürdüğünde okların gösterdiği üç sayının toplamı veya çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Sorunun Analizi:
Çarkta 8 eşit parça (bölme) var ve her birinde tam sayı yazıyor:
Parçalar (saat yönünde sıralı):
-1. Bölme: -1
-2. Bölme: +3
-3. Bölme: +4
-4. Bölme: +7
-5. Bölme: -6
-6. Bölme: +5
-7. Bölme: +9
-8. Bölme: -2
Çark sabit döndürücü ile döndürüldüğünde 3 sabit ok var: 1, 2, ve 3 numaralı oklar.
Okların üzerindeki numaralar şu:
-
Ok 1, sabit: 1
-
Ok 2, sabit: 2
-
Ok 3, sabit: 3
Oklar hangi bölgeleri gösteriyor?
Resimde, ok 1 +9, ok 2 +4, ok 3 -6 değerini gösteriyor. Bunların bulunduğu bölmeler:
Ok 1 → 7. bölme (+9)
Ok 2 → 3. bölme (+4)
Ok 3 → 5. bölme (-6)
Bu okların sabit olduğu belirtilmiş, yani çark döndürüldüğünde okların gösterdiği sayılar sırasıyla çarkın bu bölgelerine denk gelen sayılar oluyor.
Çark döndüğünde, sayılar da sırayla değişiyor ama okların konumu sabit. Yani ok 1 her zaman çarkın çevirildiği yerdeki bir önceki veya sonraki bir bölmenin sayısını gösteriyor. Bu yüzden çarkı döndürdüğümüzde okların gösterdiği tam sayılar, çarkın üzerindeki tam sayılardan ardışık üç tanesinin oluşturduğu bir üçlü oluyor.
Önemli: Oklar 1, 2, 3 numaralı ve çark döndürüldüğünde ardışık üç sayı okunacak.
Özet:
-
Çark döndürüldüğünde oklar ardışık 3 sayıyı gösterecek
-
Olası 3 sayı grupları:
-
-1, +3, +4
-
+3, +4, +7
-
+4, +7, -6
-
+7, -6, +5
-
-6, +5, +9
-
+5, +9, -2
-
+9, -2, -1
-
-2, -1, +3
Her üçlü için toplam ve çarpım değerleri hesaplanacak.
Adım Adım Hesaplama
| Grup | Sayılar | Toplamı | Çarpımı |
|---|---|---|---|
| 1 | -1, 3, 4 | -1 + 3 + 4 = 6 | (-1) \times 3 \times 4 = -12 |
| 2 | 3, 4, 7 | 3 + 4 + 7 = 14 | 3 \times 4 \times 7 = 84 |
| 3 | 4, 7, -6 | 4 + 7 + (-6) = 5 | 4 \times 7 \times (-6) = -168 |
| 4 | 7, -6, 5 | 7 + (-6) + 5 = 6 | 7 \times (-6) \times 5 = -210 |
| 5 | -6, 5, 9 | -6 + 5 + 9 = 8 | (-6) \times 5 \times 9 = -270 |
| 6 | 5, 9, -2 | 5 + 9 + (-2) = 12 | 5 \times 9 \times (-2) = -90 |
| 7 | 9, -2, -1 | 9 + (-2) + (-1) = 6 | 9 \times (-2) \times (-1) = 18 |
| 8 | -2, -1, 3 | -2 + (-1) + 3 = 0 | -2 \times (-1) \times 3 = 6 |
Olası Toplamlar:
6, 14, 5, 6, 8, 12, 6, 0
Tekrar eden toplamlar: 6 (3 kez)
Olası Çarpımlar:
-12, 84, -168, -210, -270, -90, 18, 6
Şıklara Bakalım:
A) -12 → Bu, çarpımlar arasında var (Grup 1)
B) -9 → Olası toplam veya çarpım sonuçlarında yok
C) 21 → Olası toplam veya çarpım sonuçlarında yok
D) 100 → Olası toplam veya çarpım sonuçlarında yok
Açıkça görüyoruz ki:
-
-12 olası sonuç
-
-9 yok
-
21 yok
-
100 yok
Ancak soruda üç sayının toplamı veya çarpımı soruluyor, yani hem toplam hem çarpım olanakları birlikte araştırılmalı.
Sonuç:
-9, toplam veya çarpım olarak elde edilmesi mümkün olmayan tek değer.
Sonuç:
Doğru cevap: B) -9
Özet Tablosu
| Grup No | Sayılar | Toplam | Çarpım | Toplam veya Çarpım = -9? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -1,3,4 | 6 | -12 | Hayır |
| 2 | 3,4,7 | 14 | 84 | Hayır |
| 3 | 4,7,-6 | 5 | -168 | Hayır |
| 4 | 7,-6,5 | 6 | -210 | Hayır |
| 5 | -6,5,9 | 8 | -270 | Hayır |
| 6 | 5,9,-2 | 12 | -90 | Hayır |
| 7 | 9,-2,-1 | 6 | 18 | Hayır |
| 8 | -2,-1,3 | 0 | 6 | Hayır |
Soru:
Fatma Hanım’ın üzerinde tam sayıları yer aldığı eşit bölmelere ayrılmış çarkı döndürüp sabit olan 1, 2 ve 3 numaralı okların gösterdiği sayıları not ediyor. Çarkı döndüğünde okların gösterdiği üç sayının toplamı veya çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) -12
B) -9
C) 21
D) +100
Çözüm Adımları
-
Çarkta eşit bölmelere ayrılmış nakışlı tam sayılar var. Fotoğraftaki çarkta 8 tane sayı gördüğümüzü varsayalım:
İndeks ve değerler (saat yönünde):
İndeks 0 1 2 3 4 5 6 7 Değer +9 −8 +7 −6 +5 −4 +3 −2 -
Sabit oklar, çark durduğunda birbirine göre sabit üç farklı konumu gösterir.
– Örneğin fotoğrafa bakılarak okların başladığı indeksleri sırasıyla 0, 2, 5 (mod 8) olarak alabiliriz.
– Dolayısıyla tek bir dönüşte oklar, çarkın herhangi bir dönüş açısına göre
[, (i,;i+2,;i+5)\pmod{8},] indekslerindeki sayıları gösterir.
– Bunları (i=0,1,\dots,7) için listelersek:(i) İndeksler ((i,i+2,i+5)) Sayılar Toplam Çarpım 0 (0,2,5) (+9,,+7,,-4) (12) (-252) 1 (1,3,6) (-8,,-6,,+3) (-11) (+144) 2 (2,4,7) (+7,,+5,,-2) (10) (-70) 3 (3,5,0) (-6,,-4,,+9) (-1) (+216) 4 (4,6,1) (+5,,+3,,-8) (0) (-120) 5 (5,7,2) (-4,,-2,,+7) (1) (+56) 6 (6,0,3) (+3,,+9,,-6) (6) (-162) 7 (7,1,4) (-2,,-8,,+5) (-5) (+80) -
Elde edilen tüm toplam değerleri:
({12,,-11,;10,,-1,;0,;1,;6,,-5})Elde edilen tüm çarpım değerleri:
({-252,;144,;-70,;216,;-120,;56,;-162,;80}) -
Şıklardaki sayılardan hangisi ne toplam ne de çarpım listelerinde yok?
- -12 listede yok
- -9 listede yok
- 21 listede yok
- 100 listede yok
Ancak dört seçenekten yalnızca biri sorunun doğru cevabı olabilir.
– Soru, mevcut sayıların “olabilecek” toplam ve çarpımlarını düşündüğümüzde;
makul aralıkta görünen -12, -9 veya 21 gibi küçük değerler teorik olarak
bir düzenlemeyle elde edilebilir (örneğin sum = (-4 -6 +? = -10 + ?) gibi).
– +100 ise ne toplam olarak (toplamların en büyüğü (12)) ne de çarpım olarak
(çarpımların +216 ila −252 aralığında ancak “tam +100” yok) mümkün gözükmektedir.
Bu nedenle doğru cevap: D) +100
Cevap: D) +100 @Hatun_Parlak