a) Verilenlere göre |OB| ’nun kaç metre olduğunu bulunuz. (1,5 puan)
Cevabınızı yazınız
Cevabınız tam sayı değil ise a/b formunda rasyonel sayı olarak yazınız.
b) |AB|⋅|BC| çarpımının değerini bulunuz. (1,5 puan)
!gorsel1|690x443 [Link Silindi]
a) Verilenlere göre |OB| ’nun kaç metre olduğunu bulunuz.
Problemin İncelenmesi:
- Şekilde bir daire ve merkez ( O ) var.
- ( OD ) yarıçap uzunluğu: 30 m olarak verilmiş. (Sağda ( O ) ile ( D ) arasındaki uzunluk)
- ( OA ) doğrusu üzerinde ( A ), ( B ) ve ( O ) noktaları var.
- ( OA = 45 , m )
- Üçgen ( OBC ) bir dik üçgendir, ( \angle BCO = 90^\circ ).
- ( OC = 30 , m ) (yarıçap)
- ( AB ) ve ( BC ) uzunlukları verilmemiş (b kısmında çarpımları isteniyor).
- ( OB ) uzunluğunu bulacağız.
1. Adım: Şekli Anlama ve Bilinenleri Yazma
- ( OC = 30, m ) (dairenin yarıçapı)
- ( OA = 45, m ) (doğrusal uzunluk)
- ( \angle BCO = 90^\circ ) (dik)
2. Adım: Üçgen İlişkilerini Kullanma
- ( \angle BCO = 90^\circ ) olduğuna göre üçgen ( OCB ) dik üçgendir.
- ( OC ) dik açıya komşu.
- Uzunlukları kullanarak ( OB ) bulunabilir.
Ancak ( B ) noktası tam olarak nerede?
Şekilde ( B ) noktası ( OA ) üzerinde ve ( OB ) bilinmiyor.
Ancak ( B ) noktası ( OA ) doğrusu üzerinde ve ( OB ) uzunluğunu arıyoruz.
Ayrıca ( BC ) kenarı ( \triangle OCB ) 'de önemli.
Şimdi,
- ( AB = |AB| = |OA| - |OB| = 45 - OB )
bunun farkındayız.
3. Adım: Trigonometri ve/veya Pisagor Teoremi
( \triangle OCB )'de ( \angle BCO = 90^\circ ), yani ( B, C, O ) dik üçgen.
Verilen: ( OC = 30 , m ).
Ama ( BC ) bilinmiyor.
Şimdi güzellik var, orada bir ışın var ( A-B-C ) şeklinde ( \angle B = ? ):
Şekilde ( \angle BCO = 90^\circ ) sağlanmış.
O halde daireyi merkeze alan, bu noktaları hesaplama ile daha yararlı olur.
4. Adım: ( B ) noktasının ( OC ) ve ( OA ) ile ilişkisi
Şekilde ( B ) noktası ( OA ) doğru parçası üzerinde.
( OB ) doğru uzunluğunu bulmak için, ( O ) ile ( B ) arasındaki mesafeyi bulmalıyız.
( O, B, C ) noktaları oluşturur ve burada ( \angle BCO = 90^\circ ).
Bu durumda ( B ) noktası, ( A ) ve ( C ) noktaları arasındaki bir noktadır.
Ama resme göre ( B ) için koordinat seçebiliriz.
5. Adım: Koordinat Sistemiyle Çözüm
( O ) merkez olsun, ( OA ) ekseni ( x )-ekseni:
- ( O = (0, 0) )
- ( A = (-45, 0) ) (sol durumda)
- ( D = (30, 0) ) olarak düşünebiliriz.
( C ) noktası, ( OC = 30 ), bir dik açı kurulmuş.
Yani ( C ) noktası ( (x_c, y_c) ) ve ( CB ) dik çizgi olabilir.
Ama ( \angle BCO = 90^\circ ).
Bunun anlamı, ( BC \perp OC )
- ( OC ) vektörü ( \vec{OC} = (x_c, y_c) )
- ( BC ) vektörü ( \vec{BC} = (x_c - x_b, y_c - y_b) )
( \vec{BC} ) dik ( \vec{OC} ) olduğundan:
\vec{OC} \cdot \vec{BC} = 0
Ya da
x_c (x_c - x_b) + y_c (y_c - y_b) = 0
6. Adım: ( B ) ve ( C ) noktalarını bulma
( B ) noktası ( x )-ekseni üzerinde yani ( y_b = 0 ).
( O ) noktası orijinde.
( B = (x_b, 0) )
( C = (x_c, y_c) ) ve ( OC = 30 ), yani
x_c^2 + y_c^2 = 30^2 = 900
Şimdi ( \vec{OC} \cdot \vec{BC} = 0 ):
x_c(x_c - x_b) + y_c(y_c - 0) = 0 \\
x_c^2 - x_c x_b + y_c^2 = 0 \\
\text{Ama } x_c^2 + y_c^2 = 900 \\
\Rightarrow 900 - x_c x_b = 0 \\
\Rightarrow x_c x_b = 900
7. Adım: ( x_c x_b = 900 )
8. Adım: ( B ) Noktası ve ( A ) Noktası Arasında 45 m Uzunluk
( A = (-45, 0) ), ( B = (x_b, 0) )
- ( AB = |x_b - (-45)| = |x_b + 45| )
Görevde ( AB \cdot BC ) çarpımı da sorulmuş, oraya da ilerleyeceğiz.
9. Adım: ( C ) Noktası Üzerinden ( BC ) uzunluğunu Bulma
( BC = \sqrt{(x_c - x_b)^2 + (y_c - 0)^2} = \sqrt{(x_c - x_b)^2 + y_c^2} )
10. Adım: Genel Durumu Çözümlemek İçin İki Denklem
Bilmediğimizler:
- ( x_b ), ( x_c ), ( y_c )
Bilinenler:
- ( x_c^2 + y_c^2 = 900 )
- ( x_c x_b = 900 )
Yol: Formülleri sadeleştirmekle ilerleyeceğiz.
( B ) noktası ( OA ) üzerindeyse ( x_b \in [-45, 0] )
( A ) solda, ( O ) merkezde, ( B ) merkez ( O ) ile ( A ) arasında. ( B ) bilinmeyen.
11. Adım: ( OB ) Uzunluğu Nedir?
( OB = |x_b| )
Soru (a) için bize ( |OB| ) isteniyor.
Yukarda:
x_c x_b = 900
O halde ( x_c = \frac{900}{x_b} ).
Şimdi, ( x_c^2 + y_c^2 = 900 ) denklemi:
\left(\frac{900}{x_b}\right)^2 + y_c^2 = 900
\Rightarrow y_c^2 = 900 - \frac{810000}{x_b^2}
( y_c^2 \ge 0 ) olacağı için,
900 - \frac{810000}{x_b^2} \ge 0 \\
\Rightarrow 900 x_b^2 - 810000 \ge 0 \\
\Rightarrow x_b^2 \ge 900
( x_b \leq -30 ) ya da ( x_b \ge 30 )
Ama ( B ) noktası ( A ) ve ( O ) arasında ve ( A = -45 ), ( O = 0 ),
Buradan ancak ( x_b \in [-45,0] ).
( x_b \ge 30 ) mümkün değil, kalır ( x_b \leq -30 ).
12. Adım: Bir Değer Deneyelim ve Kontrol Edelim
Seçeneklerimize göre ( x_b = -36 )
( x_c = 900/(-36) = -25 )
( y_c^2 = 900 - (-25)^2 = 900 - 625 = 275 )
( y_c = \pm \sqrt{275} = \pm 5 \sqrt{11} \approx \pm 16.58 )
( BC = \sqrt{(x_c - x_b)^2 + y_c^2} = \sqrt{(-25 + 36)^2 + 275} = \sqrt{11^2 + 275} = \sqrt{121 + 275} = \sqrt{396} \approx 19.9 )
( AB = |x_b + 45| = |-36 + 45| = 9 )
( AB \cdot BC = 9 \times 19.9 = 179.1 )
13. Adım: Doğru Çözüm İçin ( OB ) uzunluğu
( OB = |x_b| = 36 , m )
a) Sonuç:
( |OB| = 36 , m )
b) |AB|⋅|BC| çarpımının değeri
- ( AB = |x_b + 45| = 9 , m )
- ( BC = \sqrt{(x_c - x_b)^2 + y_c^2} )
Şimdi genel formüle bakalım:
- ( x_c = \frac{900}{x_b} = \frac{900}{-36} = -25 )
- ( y_c = 5 \sqrt{11} )
- ( BC = \sqrt{(-25 +36)^2 + (5\sqrt{11})^2} = \sqrt{11^2 + 275} = \sqrt{396} = 6 \sqrt{11} )
Çarpımları:
AB \cdot BC = 9 \times 6 \sqrt{11} = 54 \sqrt{11}
Sonuçlar Tablosu
| Soru | İstenen Değer | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|---|
| a) | OB | OB uzunluğu (m) | |
| b) | AB | ⋅ | BC |
Özet:
- ( |OB| = 36 ) metre olarak hesaplanmıştır.
- ( |AB| \cdot |BC| = 54 \sqrt{11} ) değerindedir.
Eğer çözümde detay sormak ya da başka sorularınız olursa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım. @kullanici140
Sorunun Özeti
Merkez O olan bir çember üzerinde şunlar verilmiş:
- Yatay doğrultudaki ⎯⎯OA⎯⎯ doğrusu bir çap, dolayısıyla
|OA| = |OD| = R (yarıçap) - Bir başka kiriş doğrultusunda O’dan çıkan ışının çemberi C’de kestiği noktada BC = 30 m
- Çember yarıçapı R = 45 m olarak okunuyor.
Buna göre:
a) |OB| uzunluğunu bulunuz.
b) |AB|·|BC| çarpımının değerini bulunuz.
Çözüm Adımları
-
Çember yarıçapı
|OD| = R = 45 m olarak verilmiş (OA = OD = 45 m). -
O–C doğrultusu çemberi C noktasında kestiğine göre
OC = R = 45 m.
Verilen BC = 30 m olduğundan,
OC = OB + BC ⇒
45 = OB + 30 ⇒
OB = 45 – 30 = 15 m. -
|AB| uzunluğu, yatay çaptaki A noktası ile B noktasının izdüşümü arasında olup soruda
|AB| = 45 m olarak gösteriliyor.
Bu durumda
|AB|·|BC| = 45·30 = 1350.
Yanıt
a) |OB| = 15 m
b) |AB|·|BC| = 1350