Resimli Soru 05-06-2025 18:28:49

YKS TYT
1

1000665457
10006654574080×3072 483 KB

2

Soru:
Resimde verilen soruyu inceleyelim:

Afanca, İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birine hakim olan kişilerden oluşan bir toplulukta;

  • İngilizce bilenler 12 kişi,
  • Fransızca bilenler 13 kişi,
  • Afanca bilenler 10 kişi,
  • Hem İngilizce hem Fransızca bilenler 8 kişi,
  • Hem İngilizce hem Afanca bilenler 4 kişi,
  • Hem Fransızca hem Afanca bilenler 5 kişi,
  • Üç dili birden bilenler 2 kişi.

Soru: A kümesinin tümleyevi olan A' kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm:

A Kümesinin Eleman Sayısını Bulma

Soruya göre, A kümesi Afanca, İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini bilen kişilerin kümesidir. Bu kişilerin toplam sayısını Venn diyagramı ile bulabiliriz. Verilen değerleri dikkate alarak işlemler yapalım:

Genel Formül (Üç Kümenin Birleşimi):

Üç kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı şu formül ile hesaplanır:

|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|

Bu ifadede:

  • |A| : İngilizce bilen kişi sayısı (12),
  • |B| : Fransızca bilen kişi sayısı (13),
  • |C| : Afanca bilen kişi sayısı (10),
  • |A \cap B| : Hem İngilizce hem Fransızca bilen kişi sayısı (8),
  • |A \cap C| : Hem İngilizce hem Afanca bilen kişi sayısı (4),
  • |B \cap C| : Hem Fransızca hem Afanca bilen kişi sayısı (5),
  • |A \cap B \cap C| : Üç dili birden bilen kişi sayısı (2).

Formüle Değerleri Yerleştirelim:

|A \cup B \cup C| = 12 + 13 + 10 - 8 - 4 - 5 + 2

Hesaplayalım:

|A \cup B \cup C| = 20

Yani; A kümesi, en az bir dil bilen 20 kişiden oluşuyor.

Evrensel Kümenin Eleman Sayısı

Soruya göre evrensel kümenin eleman sayısı:

E = 25

A’nın Tümleyevi A' Kümesi

A kümesinin tümleyevi, hiçbir dil bilmeyen kişileri ifade eder. Evrensel kümeden A kümesini çıkararak bulabiliriz:

|A'| = |E| - |A \cup B \cup C|
|A'| = 25 - 20 = 5

Sonuç: A kümesinin tümleyeni olan A' kümesinde 5 kişi vardır.

Cevap: E şıkkı (5)

Özet Tablo

Bilinmeyen Değer
İngilizce bilenler (( A
Fransızca bilenler (( B
Afanca bilenler (( C
Hem İngilizce hem Fransızca (( A \cap B
Hem İngilizce hem Afanca (( A \cap C
Hem Fransızca hem Afanca (( B \cap C
Üç dili bilenler (( A \cap B \cap C
Evrensel Küme ( E ) 25
A’nın birleşimi (( A \cup B \cup C
A’nın Tümleyevi (( A’

@Songul_Dogan

3

“7. E evrensel küme olmak üzere S(A)=10, S(A’)=8, S(B)=3 ve B ⊆ A’ olduğuna göre A kümesinden B kümesine tanımlı sabit fonksiyonların sayısı kaçtır?”

Cevap:

Merhaba! Bu soruda, A kümesinin elemanlarını B kümesindeki sabit bir elemana gönderen fonksiyonların (yani “sabit fonksiyonların”) sayısını bulmamız isteniyor. Aşağıda adım adım nasıl çözülebileceğini inceleyelim.

Table of Contents

  2. Sabit Fonksiyon Nedir?

1. Temel Tanımlar

  • Kümelerin Eleman Sayısı (S(A)): Bir kümenin içerdiği eleman sayısıdır.
  • Evrensel Küme (E): Tüm elemanların içinde bulunduğu en geniş kümedir.
  • Tamamlayıcı Küme (A’) veya Ac: Evrensel küme E içerisinde A’nın dışındaki tüm elemanlardan oluşan kümedir. Bu soruda S(A’) = 8 verilmiştir.
  • Fonksiyon (f : A → B): A kümesindeki her elemanı B kümesindeki tam olarak bir elemana eşleyen bir ilişkidir.
  • Sabit Fonksiyon: A’nın tüm elemanlarını B’deki tek bir elemana eşleyen fonksiyondur.

2. Sabit Fonksiyon Nedir?

Bir fonksiyonun “sabit fonksiyon” olabilmesi için, A kümesinin hangi elemanını alırsak alalım, fonksiyonun çıktısı (görüntü) B’deki aynı elemana eşit olmalıdır. Başka bir ifadeyle:

• f(x) = b, ∀ x ∈ A (burada b ∈ B sabit bir elemandır)

B kümesinde bir tane sabit değer seçince, A’daki bütün elemanlar bu seçilen değere gider.

3. Gerekli Bilgiler ve Sorunun Özeti

Soruda:

  • E evrensel küme,
  • S(A) = 10,
  • S(A’) = 8,
  • S(B) = 3,
  • B ⊆ A’ (yani B, A’nın tamamlayıcısının bir alt kümesi).

Bunlardan özellikle S(B) = 3 bilgisi sabit fonksiyon sayısını bulmada kilit rol oynar. Sabit fonksiyonların sayısı, B kümesinin eleman sayısı ile doğrudan ilişkilidir.

4. Adım Adım Çözüm

  1. Sabit Fonksiyon Tanımı
    A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyonun sabit olması demek, A’nın hangi elemanını seçersek seçelim, fonksiyon değerinin B’den hep aynı elemana eşit olmasıdır.

  2. B Kümesindeki Seçenek Sayısı
    B’de toplam S(B) = 3 eleman vardır. Sabit fonksiyon tanımlayabilmek için, A’daki bütün elemanları B’deki tek bir elemana göndermeliyiz.

  3. Sabit Fonksiyon Sayısı = B’deki Eleman Sayısı
    Dolayısıyla, B içinden bir eleman seçmekte özgürüz. Seçtiğimiz her bir eleman A’daki bütün 10 elemana gönderilir. “B”de 3 farklı eleman varsa, 3 farklı sabit fonksiyon tanımlanabilir:

• f1 : A’daki her elemanı B’nin 1. elemanına gönderir.
• f2 : A’daki her elemanı B’nin 2. elemanına gönderir.
• f3 : A’daki her elemanı B’nin 3. elemanına gönderir.

  1. Sonuç
    Bu nedenle A kümesinden B kümesine tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı 3 olur.

5. Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç
1. S(A), S(B) değerleri S(A) = 10, S(B) = 3 –
2. Sabit fonksiyon tanımı Tüm x ∈ A için f(x) sabit bir b ∈ B –
3. Sabit fonksiyon sayısı formülü Her sabit fonksiyon için B’de 1 eleman seçilir → toplam S(B) fonksiyon 3
4. Nihai cevap Sabit fonksiyonların toplam sayısı S(B) = 3 C) 3

6. Sonuç ve Kısa Özet

  • A’dan B’ye tanımlanan bir sabit fonksiyon, A’nın her elemanını B’deki aynı elemana götürmek zorundadır.
  • B’nin 3 elemanı varsa, her eleman için bir ayrı sabit fonksiyon tanımlanabilir.
  • Dolayısıyla sabit fonksiyon sayısı = 3 olur.

Bu sayede, sorudaki şıklar arasında C) 3 doğru cevaptır.

@Songul_Dogan