Resimli Soru 05-02-2026 21:40:55

YKS TYT
1

!1000226754|225x500 [Link Silindi]

2

1² - 2² + 3² - 4² + … + 19² - 20² işleminin sonucu kaçtır?

Önemli Noktalar

  • İşlemde ardışık kareler toplanıyor ve çıkartılıyor.
  • Pozitif kareler tek sayılar, negatif kareler çift sayılar.
  • Terimleri çiftli gruplar halinde toplayarak sadeleştirme yapılabilir.

Seride pozitif terimler: 1^2, 3^2, 5^2, \ldots, 19^2
Seride negatif terimler: -2^2, -4^2, -6^2, \ldots, -20^2

Pozitif terimler tek sayıların kareleri, negatif terimler çift sayıların kareleri.

İşlem Çözümü:

Toplam terim sayısı 20. Seriyi iki terimlik çiftler halinde yazalım:

(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + (5^2 - 6^2) + \cdots + (19^2 - 20^2)

Her grup için aşağıdaki farkı hesaplayalım:

(2k - 1)^2 - (2k)^2 = (4k^2 - 4k + 1) - 4k^2 = -4k + 1

Burada k = 1, 2, \ldots, 10.

Toplam:

\sum_{k=1}^{10} (-4k + 1) = \sum_{k=1}^{10} 1 - \sum_{k=1}^{10} 4k = 10 - 4 \sum_{k=1}^{10} k
\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55

Buna göre:

10 - 4 \times 55 = 10 - 220 = -210

Cevap:

\boxed{-210}

Sonraki Adımlar

Bu tür ardışık kare farkları sorularında toplamı daha hızlı bulmak istiyorsanız, seriyi gruplayarak veya formülleri kullanarak nasıl genelleme yapılacağını öğrenmek ister misiniz?

@Faysal

3

Resimli Soru 05-02-2026 21:40:55: Soru 5, 6 ve 7’nin Çözümleri

Anahtar Noktalar

  • Ortak çarpan ve kare farkı formülleriyle ifadeler hızla sadeleşir.
  • Ardışık çiftli kare farkı toplamları, her çift için n^2-(n+1)^2=-2n-1 kuralıyla elde edilir.
  • İki farklı ikinci dereceden ifadenin farkı, çarpanlara ayırma yöntemiyle lineer terime dönüştürülebilir.

Soru 5 için a = -5, Soru 6’nın sonucu -210, Soru 7’nin sadeleşmiş ifadesi 4a.

İçindekiler

  1. Soru 5 Çözümü
  2. Soru 6 Çözümü
  3. Soru 7 Çözümü

Soru 5 Çözümü

İfade:

\Bigl(\frac{1 - a}{a - 1} \;-\; \frac{1 - a}{a + 1}\Bigr)\,(a^2 - 1) \;=\; 7 - a
  1. \displaystyle \frac{1 - a}{a - 1} = -1 ve \displaystyle \frac{1 - a}{a + 1} = -\frac{a-1}{a+1}.
  2. Parantez içi:
    -1 \;-\;\Bigl(-\frac{a-1}{a+1}\Bigr) = -1 + \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a-1)-(a+1)}{a+1} = \frac{-2}{a+1}.
  3. (a^2-1)=(a-1)(a+1) ile çarpınca:
    \frac{-2}{a+1}\,(a-1)(a+1) = -2(a-1) = -2a+2.
  4. Denklem: -2a + 2 = 7 - a \;\Rightarrow\; -a = 5 \;\Rightarrow\; \boxed{a=-5.}

Soru 6 Çözümü

İfade:

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 19^2 - 20^2

Çiftler halinde gruplayalım:

\sum_{j=0}^{9}\Bigl[(2j+1)^2 - (2j+2)^2\Bigr] = \sum_{j=0}^{9}[-2(2j+1)-1] = \sum_{j=0}^{9}(-4j-3).

Buradan

-4\sum_{j=0}^{9}j \;-\;3\cdot10 = -4\cdot45 \;-\;30 = -180 - 30 = \boxed{-210}.

Soru 7 Çözümü

İfade:

\frac{(a+b-c)^2 \;-\;(a-b+c)^2}{\,b - c\,}

Payı kareleri açıp fark alalım:

(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab -2ac -2bc,\\ (a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 -2ab +2ac -2bc.

Fark:

4ab - 4ac = 4a(b-c).

Bölen b-c ile sadeleşince sonuç

\boxed{4a}.

Özet Tablo

Soru No İfade Özeti Sonuç
5 \bigl(\frac{1-a}{a-1}-\frac{1-a}{a+1}\bigr)(a^2-1)=7-a a=-5
6 1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+19^2-20^2 -210
7 \dfrac{(a+b-c)^2-(a-b+c)^2}{b-c} 4a

SSS

S1. Soru 5’te neden a\neq\pm1?
Cünkü paydalarda a-1 ve a+1 var; bu değerlerde ifade tanımsız olur.

S2. Soru 6’da kaç grup var ve toplam ne kadar?
1’den 20’ye kadar 10 çift (1-2, 3-4,…,19-20), toplam -210.

S3. Soru 7’de b=c olabilir mi?
Hayır; aksi halde b-c=0 bölümünde tanımsızlık oluşur.

Başka hangi konu veya soru tipleriyle ilgili örnek çözüm görmek istersin?
@Faysal