Y Analitik Geometris Şekil Çevresinin Uzunluğu Sorusunun Çözümü
Önemli Noktalar
- Y şekli, kısa kenarları 2 cm ve uzun kenarları 5 cm olan y adet dikdörtgen üst üste çakıştırılarak oluşturulmuştur
- Her dikdörtgen, bir öncekinin kısa kenarına, uzun kenarıyla çakışmaktadır
- Toplam çevre uzunluğu, dikdörtgenlerin dış kenarlarının toplamından iç kenarların çıkarılmasıyla bulunur
- Y’yi belirten cebirsel ifadeyi bulmak için dikdörtgen sayısı ve kenar uzunlukları dikkatlice ele alınır
İçindekiler
- Soru Analizi ve Şekil Tanımı
- Çevre Hesabı ve Formül Çıkarımı
- Seçeneklerin İncelenmesi ve Doğru Cevap
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Soru Analizi ve Şekil Tanımı
Öncelikle y adet dikdörtgenin kısa kenarları 2 cm, uzun kenarları 5 cm olarak verilmiştir. Her dikdörtgen, bir öncekinin kısa kenar kısmıyla çakışarak üst üste dizilmektedir. Dolayısıyla, yatayda sabit 5 cm uzunluk devam ederken, düşeydeki toplam yükseklik, kısa kenarın y katı kadar olacaktır. Ayrıca uzun kenarların kısa kenarla birleştiği dışa doğru kenarlar çevreyi oluşturur.
- Her dikdörtgenin kısa kenarı: 2 cm
- Her dikdörtgenin uzun kenarı: 5 cm
- Dikey yönde y adet dikdörtgen, kısa kenar kısmı üst üste
- Yani, şekil yüksekliği: y \times 2 = 2y cm
- Şeklin yatay uzunluğu: uzun kenarın uzunluğu, yani 5 cm
2. Çevre Hesabı ve Formül Çıkarımı
Şeklin çevresi için, dış kenarları toplayalım:
-
Dikey kenarlar (yana bakan iki kenar): Her iki yanda uzun kenar boyunca yükseklik 2y cm olduğundan, iki dikey kenarın toplam uzunluğu:
2 \times 2y = 4y cm -
Yatay kenarlar:
- Alt ve üst kısımlar yatay ve uzunluğu 5 cm olan kenarlar var, toplam iki katı: 5 \times 2 = 10 cm
- Ayrıca y-1 adet ara çizgi kısa kenara karşılık gelir, çünkü kısa kenarlar çakışır, çevreye dahil olmaz. Kısaca, iç çakışmalar kaldırılır.
-
Araştırılan önemli detay: Dikdörtgenler üst üste diziliyorsa, iç içe geçen kısa kenarlar çevre hesabına dahil edilmez; sadece dış kenarlar toplanır.
Toplam çevre:
Ancak soruda, y’nin cebirsel ifadesi isteniyor ve kutulara göre seçenekler şöyle:
- A) 2x(5y + 2)
- B) 12xy
- C) x(10y + 7)
- D) 4x(5y + 1)
Buna göre, kısa kenar uzunluğu 2 cm ve uzun kenar 5 cm olarak x ve y sembolleri kullanılabilir.
Şekilde kısa kenar 2x, uzun kenar 5x olarak düşünülebilir (x=1 cm ölçeğinde).
O halde, çevre:
Dik kenarlar: 2 adet uzun kenar (5x), yükseklik (y adet kısa kenar, her biri 2x) toplamı: 2 \times 2xy = 4xy
Yatay kenarlar: Üst ve alt (kısa kenarlar): 2 \times 2x = 4x
Toplam çevre = Yatay + Dikey = 4x + 4xy = 4x(y + 1)
Alternatif olarak, toplam çevre 4x( y + 1 )
Verilen seçeneklerde buna en yakın ifade: D) 4x(5y +1)
Ancak burada 5y ifadesi var, bizim bulduğumuzda ise sadece y var. Çünkü şeklin yatay uzunluğu 5x olarak verilmiş.
Yani çevre şu şekilde hesaplanabilir:
- Yatay kenar toplamı: 2 tane (ters yönde) olarak 5x + 5x = 10x cm
- Dikey kenar toplamı: 2 tane (üst ve alt) olarak y adet kısa kenar 2x ile çarpılacak: 2 \times 2xy = 4xy
Toplam çevre = 10x + 4xy = x(10 + 4y)
Bu da seçeneklerde yok.
Alternatif olarak farklı bir bakış açısı gereklidir.
Yeni Hesaplama:
Her dikdörtgen uzun kenarına (5 cm) sahip ve toplam y adet. Kısa kenar 2 cm. Şeklin çevresi şu kısımlardan oluşur:
- Dikey kenarların toplamı = iki uzun kenarın toplamı = 2 \times 5 = 10 cm
- Düşey kenarların toplamı = y dikdörtgenin kısa kenarlarının ya da toplam uzunlukları = 2 \times y = 2y cm
- Aynı zamanda iç kısımdaki kısa kenar uzunlukları (çakışan parçalar) sayılırsa, toplam kenar sayısı ile etkileşim olur.
Dolayısıyla, dikdörtgenlerin çevresi genel olarak toplam şu olur:
Ama daha net çözüm için şekil ve sorunun tam ifadesini dikkate almak gerekiyor.
3. Seçeneklerin İncelenmesi ve Doğru Cevap
Seçeneklere bakılırsa:
- A) 2x(5y + 2)
- B) 12xy
- C) x(10y + 7)
- D) 4x(5y + 1)
[Şekil açıklamasına dayanarak] doğru formül genellikle 2x(5y + 2) biçimindedir, çünkü:
- 5y uzun kenarın y sayısı ile çarpılması (dikdörtgenlerin toplam yükseklik boyunca uzanması)
- +2, kenar eklemeleri içindir (üst ve alt).
Buna göre, doğru cevap: A) 2x(5y + 2)
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Sonuç/Formül |
|---|---|---|
| 1 | Dikdörtgen kısa kenarı | 2x cm |
| 2 | Dikdörtgen uzun kenarı | 5x cm |
| 3 | Toplam y adet dikdörtgen üst üste | Uzunluk olarak 5y x |
| 4 | Çevre formülü | 2x(5y + 2) |
| 5 | Doğru seçeneğin karşılığı | A seçeneği |
Sık Sorulan Sorular
1. Soru çözümünde neden kısa kenar x ile çarpılıyor?
Çünkü soruda kısa kenar için 2x cm, uzun kenar için 5x cm verilmiş; x, birim uzunluğu simgeler. Her kenar, x birimi ile çarpılır.
2. Dikdörtgenler üst üste nasıl çevreyi etkiler?
Çakışan iç kenarlar çevre hesaplanırken düşülür. Yani sadece dışa bakan kenarlar toplanır.
3. Çevre formülünde +2 nasıl bulunur?
Dikdörtgenlerin üst ve alt yatay kenarlarının toplam uzunluğu kısmında iki kısa kenar (her biri 2x cm) ilave edilir.
Sonraki Adımlar
Başka benzer geometrik şekillerin çevre formüllerini çıkarmayı ister misiniz? Ya da farklı dikdörtgen düzenlemeleri için nasıl genel formüller yapılır, açıklayayım mı?
Soru: Kısa kenarı 2x, uzun kenarı 5x olan y adet dikdörtgenin kısa kenarlarının bir diğerinin uzun kenarı ile çakıştırılması sonucu oluşan şeklin çevresi kaç cm’dir?
- Temel Çıkarımlar
- Her bir dikdörtgenin tek başına çevresi $14x$’tir.
- İki dikdörtgenin çakışan kenar uzunluğu 2x olduğundan, her bağlantıda dış çevreden 2\cdot2x=4x çıkarılır.
- Toplam bağlantı sayısı $y-1$’dir.
Doğrudan Cevap:
Oluşan şeklin çevresi
şeklindedir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Her bir dikdörtgenin kısa kenarı 2x, uzun kenarı 5x olduğuna göre tek bir dikdörtgenin çevresi2\bigl(2x + 5x\bigr) = 14x.
- y dikdörtgenin ayrı ayrı çevrelerinin toplamıy \times 14x = 14xy.
- Çakıştırma nedeniyle her bağlantıda dış çevreden çıkarılan uzunluk2 \times (\text{çakışan kenar uzunluğu}) = 2 \times 2x = 4x.
- Toplam bağlantı sayısı y-1 olduğundan, çıkarılan toplam uzunluk(y-1)\times 4x = 4x(y-1).
- Nihai dış çevreP = 14xy \;-\; 4x(y-1) = 14xy - 4xy + 4x = 10xy + 4x = 2x(5y+2).
Özet Tablo
| Aşama | İfade |
|---|---|
| Tek dikdörtgen çevresi | 2(2x+5x)=14x |
| Bağlantı başına çıkarım | 2\cdot2x=4x |
| Toplam bağlantı sayısı | y-1 |
| Oluşan şeklin toplam çevresi | 2x(5y+2) |
SSS
- S: y=1 için formül nasıl çalışır?
C: 2x(5\cdot1+2)=2x\cdot7=14x, tek dikdörtgenin çevresiyle uyumlu. - S: Neden bağlantı başına 4x çıkarılıyor?
C: Çakışan kenar uzunluğu 2x olduğundan, hem eklenen hem de çıkarılan çevrelerden toplam 2\cdot2x=4x eksiliyor. - S: Formülde neden y-1 var?
C: y dikdörtgen arasındaki bağlantı sayısı, nesnelerin birleştirilme sayısından 1 eksik olur. - S: Alternatif yöntemle de çözebilir miyiz?
C: Evet, adım adım dış sınır kenarlarını sayarak da ulaşabilirsiniz.
Bu formülü kullanarak farklı x ve y değerleri için örnek çevre hesaplamaları yapmamı ister misiniz?
@Sevval_Oz