Cevabı nasıl 110 olur?
Soru: Cevabı nasıl 110 m olur?
Bir aracın t = 0 anında durmakta olduğu kabul edilerek çizilen ivme–zaman grafiği aşağıdaki gibidir:
Girdiğimiz bilgiler:
- 0–2 s arası ivme $a_1 = +10,$m/s²
- 2–4 s arası ivme $a_2 = 0,$m/s²
- 4–6 s arası ivme $a_3 = +5,$m/s²
- Başlangıç hızı $v_0 = 0,$m/s
Grafikten yararlanarak 0–6 s arasında aracın kat ettiği yer değiştirmeyi (displacement) adım adım hesaplayacağız.
İçindekiler
- Grafiğin Yorumu
- Hız ve Yer Değiştirme İlişkileri
- Adım Adım Hesaplama
3.1. 0–2 s Arası
3.2. 2–4 s Arası
3.3. 4–6 s Arası - Özet Tablosu
- Sonuç ve Kontrol
1. Grafiğin Yorumu
- Dikey eksen: İvme (a), yatay eksen: Zaman (t).
- Grafikte üç farklı bölge var:
- 0 ≤ t < 2 s: sabit pozitif ivme $+10,$m/s²
- 2 ≤ t < 4 s: ivme sıfır (a = 0)
- 4 ≤ t ≤ 6 s: sabit pozitif ivme $+5,$m/s²
Başlangıçta araç duruyor (v_0 = 0). Her bir zaman aralığında önce hız değişimini, sonra o aralıktaki yer değiştirmeyi bulacağız.
2. Hız ve Yer Değiştirme İlişkileri
Fizikte sabit ivme altındaki harekette kullanılan temel formüller:
- Hız-zaman bağıntısı
v = v_{\text{i}} + a\,t - Yer değiştirme (s)
- Eğer başlangıç hızı v_{\text{i}} ve sabit ivme a biliniyorsa:
s = v_{\text{i}}\,t + \tfrac12\,a\,t^2 - İvmesiz (a = 0) durumda:
s = v_{\text{i}}\,t
- Eğer başlangıç hızı v_{\text{i}} ve sabit ivme a biliniyorsa:
3. Adım Adım Hesaplama
3.1. 0–2 s Arası (a = +10 m/s²)
- Başlangıç hızı: $v_0 = 0,$m/s
- İvme: $a_1 = 10,$m/s²
- Zaman aralığı: $\Delta t_1 = 2,$s
Hızın değişimi:
v_1 = v_0 + a_1\,\Delta t_1 = 0 + 10 \times 2 = 20\ \mathrm{m/s}
Yer değiştirme:
s_1 = v_0\,\Delta t_1 + \tfrac12\,a_1\,(\Delta t_1)^2
= 0 + \tfrac12 \times 10 \times 2^2
= 20\ \mathrm{m}
3.2. 2–4 s Arası (a = 0 m/s²)
- Başlangıç hızı: $v_1 = 20,$m/s
- İvme: $a_2 = 0,$m/s²
- Zaman aralığı: $\Delta t_2 = 2,$s
İvme sıfır, dolayısıyla hız sabit kalır: $v_2 = v_1 = 20,$m/s
Yer değiştirme:
s_2 = v_1\,\Delta t_2 = 20 \times 2 = 40\ \mathrm{m}
3.3. 4–6 s Arası (a = +5 m/s²)
- Başlangıç hızı: $v_2 = 20,$m/s
- İvme: $a_3 = 5,$m/s²
- Zaman aralığı: $\Delta t_3 = 2,$s
Hızın son değeri (kontrol amaçlı):
v_3 = v_2 + a_3\,\Delta t_3
= 20 + 5 \times 2 = 30\ \mathrm{m/s}
Yer değiştirme:
s_3 = v_2\,\Delta t_3 + \tfrac12\,a_3\,(\Delta t_3)^2
= 20 \times 2 + \tfrac12 \times 5 \times 2^2
= 40 + 10 = 50\ \mathrm{m}
4. Özet Tablosu
| Zaman Aralığı (s) | İvme (m/s²) | Başlangıç Hızı (m/s) | Yer Değiştirme (m) |
|---|---|---|---|
| 0 – 2 | +10 | 0 | 20 |
| 2 – 4 | 0 | 20 | 40 |
| 4 – 6 | +5 | 20 | 50 |
| Toplam (0–6 s) | — | — | 110 |
5. Sonuç ve Kontrol
- Toplam yer değiştirme s_{\mathrm{toplam}} = s_1 + s_2 + s_3 = 20 + 40 + 50 = \mathbf{110\ \mathrm{m}}
- Hesaplamayı adım adım kontrol ettiğimizde 110 m sonucunun doğruluğu teyit edilir.
- Kritik nokta, farklı zaman dilimlerinde ivme değişimine göre hızın doğru şekilde güncellenmesi ve yer değiştirmenin formüllerinin eksiksiz uygulanmasıdır.
Bu adım adım yöntemle “Cevabı nasıl 110 m olur?” sorusunun mantığını ve matematiksel hesabını net olarak görmüş olduk. @antalya2107
Cevabı nasıl 110 olur?
Answer:
Aşağıda adım adım gösteriyorum — grafik 0–2 s arasında a=+10\ \mathrm{m/s^2}, 2–4 s arasında a=0\ \mathrm{m/s^2}, 4–6 s arasında a=+5\ \mathrm{m/s^2} olduğunu gösteriyor. Başlangıç hızı v_0=0 (t=0’da araç durmakta). Yer değiştirme (toplam yol) her aralıktaki hız-integralini (veya hız değişimini kullanarak) hesaplanıp toplanarak bulunur.
İçindekiler
1. Genel yaklaşım
- İvme zaman grafiğinden hız elde edilir: hız, ivmenin zamana göre integralidir. Başlangıç hızı v_0=0 olduğuna göre, her bir sabit ivmeli aralıkta hız ve o aralıkta yapılan yer değiştirme kolayca bulunur.
- Bir aralık için yer değiştirme formülü: eğer aralığın başlangıcındaki hız v_i, ivme a, süre \Delta t ise
\Delta x = v_i\,\Delta t + \tfrac{1}{2} a (\Delta t)^2 - Her aralığın yer değiştirmesi hesaplanıp toplanır.
2. Parça parça hesaplar (adım adım)
Parçalar: 0–2 s, 2–4 s, 4–6 s.
- 0–2 s (a = +10 m/s²)
- Başlangıç hızı v_0 = 0.
- Süre \Delta t_1 = 2\ \mathrm{s}.
- Yer değiştirme:
\Delta x_1 = v_0 \Delta t_1 + \tfrac{1}{2} a_1 (\Delta t_1)^2 = 0 \cdot 2 + \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 4 = 20\ \mathrm{m} - Bu aralığın sonundaki hız:
v_2 = v_0 + a_1 \Delta t_1 = 0 + 10\cdot 2 = 20\ \mathrm{m/s}
- 2–4 s (a = 0 m/s²)
- Başlangıç hızı bu aralığın başında v_2 = 20\ \mathrm{m/s} (bir önceki aralıktan kalan).
- Süre \Delta t_2 = 2\ \mathrm{s}.
- İvme sıfır olduğundan hız sabit, yer değiştirme:
\Delta x_2 = v_2 \Delta t_2 + \tfrac{1}{2} \cdot 0 \cdot 2^2 = 20 \cdot 2 = 40\ \mathrm{m} - Bu aralığın sonundaki hız:
v_4 = v_2 + 0\cdot 2 = 20\ \mathrm{m/s}
- 4–6 s (a = +5 m/s²)
- Başlangıç hızı v_4 = 20\ \mathrm{m/s}.
- Süre \Delta t_3 = 2\ \mathrm{s}.
- Yer değiştirme:
\Delta x_3 = v_4 \Delta t_3 + \tfrac{1}{2} a_3 (\Delta t_3)^2 = 20\cdot 2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 2^2 = 40 + \tfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 4 = 40 + 10 = 50\ \mathrm{m} - Son hız (kontrol için):
v_6 = v_4 + a_3 \Delta t_3 = 20 + 5\cdot 2 = 30\ \mathrm{m/s}
Toplam yer değiştirme:
\Delta x_\text{toplam} = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 = 20 + 40 + 50 = 110\ \mathrm{m}
3. Özet tablo
| Aralık (s) | İvme a (m/s²) | Başlangıç hızı v (m/s) | Süre (s) | Yer değiştirme \Delta x (m) |
|---|---|---|---|---|
| 0–2 | +10 | 0 | 2 | 20 |
| 2–4 | 0 | 20 | 2 | 40 |
| 4–6 | +5 | 20 | 2 | 50 |
| Toplam | — | — | 6 | 110 m |
4. Sonuç ve kısa açıklama
- Grafikten görüldüğü gibi 0–2 s arası güçlü pozitif ivme aracı hızlandırır (20 m/s elde edilir) — bu bölümde 20 m yol alınır.
- 2–4 s arasında ivme sıfır olduğundan araç sabit hızla (20 m/s) yol alır — bu bölümde 40 m yol alınır.
- 4–6 s arasında ise tekrar pozitif ama daha küçük bir ivme vardır (+5 m/s²) — burada ilave 50 m yol alınır.
- Bu üç bölümün toplamı 110 m olur. Dolayısıyla cevabın 110 çıkması tamamen doğru ve yukarıdaki hesapla gösterilebilir.
Eğer grafik yorumunda bir yerde karışıklık olduysa (ör. ikinci aralığın ivmesini yanlış okumak gibi), yanlış sonuçlar elde edilir. Grafiğe göre orta aralıkta (2–4 s) ivme 0dır; bunu GÖZ ÖNÜNDE BULUNDURUNCA toplam 110 m elde edilir.
Umarım açıklama yardımcı oldu — anlamadığınız bir adım olursa söyleyin, adım adım tekrar geçeriz. @antalya2107