Resimdeki Soru Çözümü: Hasar Görmüş Bölgenin Alanı
Önemli Noktalar
- Güvenlik şeridinin uzunluğu 46 metre olarak verilmiş
- Dikdörtgenin kenarları doğal sayı ve metre cinsindendir
- Alanın maksimumu isteniyor (en fazla kaç metrekare olabilir)
- Çevre uzunluğu sabit (46 metre) ve en büyük alan soruluyor
Bir dikdörtgenin çevresi P = 2(x + y) formülüyle bulunur.
Burada P = 46 , o halde;
x ve y pozitif doğal sayılar olduğuna göre, x ve y toplamları 23 olan iki sayı olacak.
Dikdörtgenin alanı:
Maksimum alan için x ve y mümkün olduğunca birbirine yakın olmalıdır (geometrik görüş).
x + y = 23 olduğuna göre, en yakın sayılar 11 ve 12 'dir.
Alan:
Bu da seçenekler içinde C) 132’ye karşılık gelir.
Özet Tablo
| Adım | Sonuç / Formül |
|---|---|
| Çevre (P) | 46 metre |
| Kenar toplamı | x + y = 23 |
| Maksimum alan için | (x, y) = (11, 12) |
| Maksimum Alan | 11 \times 12 = 132 \, m^2 |
| Doğru cevap | C) 132 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden x ve y eşit ya da birbirine yakın olmalı?
Dikdörtgenin sabit çevrede maksimum alanı, kenar uzunlukları birbirine en yakın olan (yani kareye yakın) şekildir. Bu geometri prensibidir.
2. Diğer uzunluklar alınsaydı ne olurdu?
Örneğin 10 ve 13 alsaydık, alan 130 olurdu; bu 132’den küçüktür.
3. Kesirli kenar olabilir mi?
Soru doğal sayı olarak verilmiş, bu yüzden kesirli kenarları değerlendirmiyoruz.
Sonraki Adımlar
Boyalarla ilgili diğer soruları da çözmemi ister misiniz?
Ya da benzer çevre-alan problemlerinin pratik çözümlerini hazırlar mıyım?
Güvenlik şeridi uzunluğu 46 m ise hasar görmüş dikdörtgenin alanı en fazla kaç m²’dir?
Önemli Noktalar
- Güvenlik şeridi uzunluğu 46 m, bu dikdörtgenin çevresine eşittir.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayıdır.
- Sabit toplam kenar uzunluğu m+n=23 için alan m\cdot n en fazla 132 m² olur.
Doğru Cevap
Güvenlik şeridinin uzunluğu, hasar görmüş dikdörtgenin çevresi olduğundan 2(m+n)=46 ve m+n=23 elde edilir. Doğal sayı kenarlar için alan m\cdot n ifadesi, m ile n birbirine mümkün olduğunca yakın olduğunda maksimum olur. Bu koşulda m=11, n=12 alınca alan
olur.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Çevre formülü: Hasar görmüş dikdörtgenin çevresi 2(m+n)=46 metredir.
- Toplam kenar uzunluğu: Buradan m+n=23 sonucu çıkar.
- Alan ifadesi: Alan A=m\cdot n formülüyle verilir.
- Maksimum değer: Sabit m+n=23 için m ile n en yakın değerlere seçilirse alan maksimum olur.
- Orta nokta 23/2=11{,}5 olduğundan doğal sayı olarak m=11, n=12.
- Sonuç: Alan 11\cdot12=132 m².
Detaylı Açıklama
Çevre sabitken dikdörtgenin alanını maksimize etmek, simetri ilkesine dayanır.
- Sabit toplam m+n=S olduğunda, m=n=S/2 iken (teorik) maksimum alan sağlanır.
- Doğal sayılarda S/2 tam sayı değilse en yakın iki tam sayı seçilir.
- Burada S=23, S/2=11{,}5. En yakın doğal sayılar 11 ve 12’dir.
- Bu yöntem, alan formülü A(m)=m\cdot(S-m) fonksiyonunun tepe noktasını bulmaya denk gelir.A(m)=m\,(23-m)=-m^2+23mBu ikinci derece fonksiyonun tepe noktası $m=\frac{23}{2}$’de gerçekleşir.
Özet Tablo
| m+n | m | n | Alan m\cdot n (m²) |
|---|---|---|---|
| 23 | 11 | 12 | 132 |
SSS
- Başka hangi (m,n) çiftleri çevre 46 m sağlar?
m+n=23 olduğu sürece örneğin (1,22),(2,21),\dots,(22,1) geçerlidir. - Neden alan maksimumda m ve n birbirine yakın seçilir?
Çift değişkenli alan fonksiyonu tepe noktasında simetrik olduğu için; sabit toplam altında kareye yakın form en büyük alanı verir. - Çevresi farklı bir değer için aynı yöntem geçerli mi?
Evet, çevre 2(m+n)=P iken m+n=P/2 bulunur; alan m\,(P/2-m) fonksiyonunun tepe noktasından optimum seçim yapılır. - Alan neden doğrudan m+n maksimum değerinden elde edilmiyor?
Çevre maksimumunu değil, alan maksimumunu aradığımız için sabit çevre altında değişken dağılımı önemlidir.
Başka bir perimetre değeri için benzer maksimum alan problemleri çözmemi ister misiniz?
@Ezgi_Ergin