!1000241310|281x500 [Link Silindi]
ABC Üçgeninin Çevresi Kaç Santimetredir?
Önemli Noktalar
- ABC dik üçgen, m(ABC) = 90°, m(BAC) = x açısı ve |AC| = 15 cm
- tan(x) = 3/4 verilmiş, bu açıya göre karşı ve komşu kenar oranı belirlenir
- Üçgenin çevresi, üç kenar uzunluğunun toplamıdır
ABC dik üçgende, tan(x) = karşı / komşu = BC / AB = 3/4 olduğuna göre, kenar uzunlukları oransal olarak 3k ve 4k olarak alınabilir. |AC| = 15 cm hipotenüs olduğundan, Pisagor bağıntısına göre hipotenüs 5k uzunluğundadır. 5k = 15 cm → k = 3 cm bulunur. Böylece kenarlar: BC = 3k = 9 cm, AB = 4k = 12 cm olur. Çevre = 9 + 12 + 15 = 36 cm.
İçindekiler
Sorunun Çözümü
ABC dik üçgeninde:
- m(ABC) = 90° → B dik açıdır.
- m(BAC) = x → tan x = 3/4. Burada \tan x = \frac{karşı}{komşu} = \frac{BC}{AB} .
Kenarları oranladığımızda:
- BC = 3k
- AB = 4k
- AC = 5k (Hipotenüs, 3-4-5 üçgen özellikli)
Verilen |AC| = 15 cm → 5k = 15 \Rightarrow k = 3.
Bu durumda kenar uzunlukları:
- BC = 3k = 3 \times 3 = 9 cm
- AB = 4k = 4 \times 3 = 12 cm
- AC = 15 cm zaten verilmiş.
Üçgenin çevresi:
P = AB + BC + AC = 12 + 9 + 15 = 36\, cm
Pro Tip: Tanjant oranına göre kenarları orantılayarak, tan x = 3/4 olan üçgenin kenarlarını 3k-4k-5k şeklinde almak problemlerde hızlı çözüm sağlar.
Pisagor ve Trigonometrik İlişkiler
- Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir:AC^2 = AB^2 + BC^2
- \tan x oranı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. Burada:\tan x = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}
- 3-4-5 üçgeni klasik trigonometrik oranlı üçgendir. Hipotenüsün katları olarak kenarlar ifade edilir.
Profesyonel uygulamalarda, trigonometrik oranları doğrudan benzerlik kurarak kenarlarla ilişkilendirmek hesaplama süresini azaltır.
Uyarı: Ölçüler ve oranlar tam kare olmayan durumlarda, kesin sonuç için ölçüm veya karekök hesaplamaları gerekebilir.
Özet Tablo
| Öge | Değer |
|---|---|
| m(ABC) | 90° (dik açı) |
| m(BAC) | x, tan x = 3/4 |
| AC (Hipotenüs) | 15 cm |
| AB (Komşu) | 12 cm |
| BC (Karşı) | 9 cm |
| Çevre | 36 cm |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden kenarlar 3k, 4k ve 5k şeklinde alındı?
Çünkü tan x = 3/4 oranı, 3-4-5 dik üçgen oranları ile uyumludur. Bu üçlü, Pisagor teoreminin klasik çözümlerindendir.
2. Başka nasıl çözebilirim?
Trigonometri kullanarak hipotenüs ve diğer kenarları sinüs ve kosinüs yardımıyla da hesaplayabilirsiniz.
3. Sonuç neden 36 cm oldu?
Üç kenar uzunlukları toplanarak çevre bulunur: 9 + 12 + 15 = 36 cm.
4. Bu yöntem tüm dik üçgenler için geçerli mi?
Evet, benzer üçgen oranları ve trigonometrik oranlar genel olarak tüm dik üçgen hesaplamalarında kullanılır.
Sonraki Adımlar
Çözüme ilişkin farklı trigonometrik oranların nasıl kullanıldığını açıklamamı ister misiniz?
ABC dik üçgeninin çevresi kaç santimetredir?
- ABC üçgeni dik üçgendir ve ∠ABC = 90°
- |AC| = 15 cm (hipotenüs)
- tan x = 3/4, ∠BAC = x
ABC üçgeninin çevresi 36 cm’dir.
İçindekiler
- Kenar Uzunluklarının Hesaplanması
- Çevre Hesabı
- Karşılaştırmalı Trigonometrik Oranlar
- Özet Tablosu
- SSS
Kenar Uzunluklarının Hesaplanması
∠BAC = x olduğuna göre tan x, karşı kenar/komşu kenar oranıdır:
\tan x = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}.
Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu |AC| = 15 cm olduğuna göre 3–4–5 üçgenini temel alırız:
- 3k = BC
- 4k = AB
- 5k = AC = 15 ⇒ k = 3
Böylece - BC = 3·3 = 9 cm
- AB = 4·3 = 12 cm
Çevre Hesabı
Üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır:
\text{Çevre} = AB + BC + AC = 12 + 9 + 15 = 36\;\text{cm}.
Karşılaştırmalı Trigonometrik Oranlar
| Oran | Formül | Değer |
|---|---|---|
| tan x | BC/AB | 3/4 |
| sin x | BC/AC | 3/5 |
| cos x | AB/AC | 4/5 |
Özet Tablosu
| Kenar | Uzunluk (cm) |
|---|---|
| AB | 12 |
| BC | 9 |
| AC | 15 |
| Çevre | 36 |
SSS
S1. Bir dik üçgende tanjant oranı verilirse kenarlar nasıl bulunur?
C1. Tanjant = karşı/komşu olarak tanımlanır. Oranı p/q ise kenarlar p·k ve q·k olacak şekilde ölçeklenir.
S2. tan x = 3/4 olduğunda sin x ve cos x değerleri nelerdir?
C2. sin x = 3/5, cos x = 4/5 (3–4–5 üçgeninden).
S3. Bir üçgenin çevresi nasıl hesaplanır?
C3. Üçgenin üç kenar uzunluğunun toplamı çevresini verir.
Bu konuda 3 adet alıştırma problemi çözmek ister misiniz?
@furkannss