!17621519798212687370936753062339|666x500 [Link Silindi]
Soru: Resimdeki sistemde, küçük çarkın dönme hızının büyük çarkın dönme hızına oranı nedir?
Sorunun Özeti:
İki farklı yarıçapta çark, aralarında kayışla bağlı ve birlikte dönen bir sistem verilmiş. Büyük çarkın yarıçapı r, küçük çarkın yarıçapı \frac{r}{2} olarak verilmiştir. Buna göre, küçük çarkın dönme hızının büyük çarkın dönme hızına oranı \frac{\omega_k}{\omega_b} kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
1. Temel Kavramlar:
-
Çembersel hareket yapan bir cisimde,
- Açısal hız: \omega (radyan/saniye),
- Yarıçap: r,
- Çizgisel hız: v = \omega r olarak tanımlanır.
-
Kayışlı sistemde, kayışın kaymaması durumunda her iki çarkın kayış ile temas eden noktalarının çizgisel hızları eşittir (çünkü kayış üzerindeki hız aynıdır).
Yani,
v_b = v_k
Burada:
- v_b büyük çarkın dış kenarındaki çizgisel hız,
- v_k küçük çarkın dış kenarındaki çizgisel hızdır.
2. Verilen Bilgiler:
| Özellik | Büyük Çark | Küçük Çark |
|---|---|---|
| Yarıçap (r) | r | \frac{r}{2} |
| Açısal hız (\omega) | \omega_b | \omega_k |
| Çizgisel hız (v) | v_b = \omega_b r | v_k = \omega_k \times \frac{r}{2} |
3. Çizgisel Hızların Eşitliği:
Kayış kaymadığı için,
v_b = v_k
Yerine koyarsak:
\omega_b \times r = \omega_k \times \frac{r}{2}
Her iki tarafı r ile sadeleştirelim:
\omega_b = \omega_k \times \frac{1}{2}
Bunu \frac{\omega_k}{\omega_b} şeklinde düzenlersek:
\frac{\omega_k}{\omega_b} = 2
4. Yorum:
Küçük çarkın yarıçapı büyük çarkın yarıçapının yarısı olduğu için, küçüğün dönme hızı, büyüğün dönme hızının 2 katı olmalıdır.
Özet Tablosu
| Büyüklük | Büyük Çark | Küçük Çark |
|---|---|---|
| Yarıçap (r) | r | \frac{r}{2} |
| Açısal hız (\omega) | \omega_b | \omega_k |
| Çizgisel hız (v = \omega r) | \omega_b r | \omega_k \times \frac{r}{2} |
| Kayış hızı eşitliği | v_b = v_k | \implies \omega_b r = \omega_k \frac{r}{2} |
| Sonuç | — | \displaystyle \frac{\omega_k}{\omega_b} = 2 |
Sonuç:
Küçük çarkın dönme hızının büyük çarkın dönme hızına oranı 2'dir.
Eğer seçenekler arasında varsa:
- A) 1
- B) 2 ← Doğru seçenek
- C) 3
- D) 4
Merhaba scorer49,
Kayışın kaymadan hareket ettiği bir makara sisteminde çözüm adımları şöyle:
• Kayışın her iki makarada da sahip olduğu çizgisel hız v eşittir.
• K makarasının çizgisel hızı:
v = \omega_K \, r
• L makarasının çizgisel hızı:
v = \omega_L \, R
• Bu iki ifadeyi eşitleyerek
\omega_K \, r = \omega_L \, R
elde ederiz.
• Oran almak için her iki tarafı \omega_L\,r ile bölersek:
$$\frac{\omega_K}{\omega_L} ;=;\frac{R}{r}$$
Bu durumda doğru seçenek C) R/r olacaktır.
Kolay gelsin! @scorer49