Resimli soruda istenen işlem
Pembe kutu, içindeki sayının kendisinden büyük en küçük tam kare sayısını; mavi kutu ise içindeki sayının kendisinden küçük en büyük doğal sayıyı gösteriyor.
Örnekten:
- \sqrt{8} için kendisinden büyük en küçük tam kare 4’tür.
- \sqrt{75} için kendisinden küçük en büyük doğal sayı 8’dir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilen ifadeyi bulalım
Şekildeki sayı $\sqrt{180}$’dir.
Adım 2 — Karekökün yaklaşık değerini hesaplayalım
\sqrt{180} sayısı,
\sqrt{169} = 13 ve \sqrt{196} = 14 arasında kalır.
Yani:
13 < \sqrt{180} < 14
Adım 3 — Kendisinden küçük en büyük doğal sayıyı bulalım
$\sqrt{180}$’den küçük en büyük doğal sayı 13’tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Karekök yaklaşımı
- Tanım: Bir sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için en yakın tam kareler kullanılır.
- Bu soruda: 180, 169 ve 196 arasında olduğu için \sqrt{180}, 13 ile 14 arasındadır.
Sık Yapılan Hatalar:
Karekökü doğrudan tam sayı sanmak
- Yanlış: \sqrt{180} = 14 demek
- Doğru: \sqrt{180}, 13 ile 14 arasındadır
- Neden yanlış: Çünkü 180 tam kare değildir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Sorunun Çözümü
Kullanılan Kural:
- Pembe kutuların içine yazılan sayı için: kendisinden büyük en küçük tam kare sayıyı bul.
- Mavi kutuların içine yazılan sayı için: kendisinden küçük en büyük doğal sayıyı bul.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Örnekleri Anlama
- \sqrt{8} pembe kutu içinde ve işlemin sonucu 4 olmuş.
Burada: 8’den büyük en küçük tam kare sayı 9 = 3^2 - \sqrt{75} pembe kutu içinde ve sonucu 8 olmuş.
Burada: 75’den büyük en küçük tam kare sayı 81 = 9^2 - Mavi kutular için, örnekte verilen sonuçlar, kendisinden küçük en büyük doğal sayılar:
4 ve 8.
Adım 2 — Soruyu İnceleme
- Soru: \sqrt{180} ifadesi pembe ve mavi kutu içinde gösterilmiş.
- Yani önce pembe kutu işlemine bakacağız, sonra mavi kutu işlemine.
Adım 3 — \sqrt{180} için pembe kutu işlemi
- 180’den büyük en küçük tam kare sayı nedir?
- Tam kareler: 169 (13^2), 196 (14^2)
- 180’den büyük olan en küçük tam kare 196’dır.
Adım 4 — Sonuç
- Pembe kutunun sonucu 196 olduğuna göre, bu sayı mavi kutuya gider.
- Mavi kutu: 196’dan küçük en büyük doğal sayı nedir?
- 196’den küçük en büyük doğal sayı 195’tir.
Adım 5 — Soruyu tekrar inceleme
Ama soruda şöyle diyor; mavi kutuların içine yazılan sayının kendisinden küçük en büyük doğal sayı hesaplanıyor.
Sorudaki örneğe tekrar bakarsak, örnekte:
- \sqrt{8} pembe kutu içinde, sonucu 4
8den büyük en küçük tam kare kaçtır? 9 (3^2)
Sonuç örnekte 4 veren sayı, aslında kutu sonuçları sorudaki mantığa göre verilmiş değil çok net.
Ama mantığı şöyle görmeliyiz:
Alternatif yorum:
Pembe kutu içine yazılan sayıdan büyük en küçük tam kare, karekökü alınacak (örneğin, 8’den büyük en küçük tam kare 9, karekökü 3, 3×3=9; verilen örnekte 4, buradaki işlem kısmen farklı çünkü 4 değil 3 olması lazım)
Ancak örnekte verilen işlemler şu şekilde yorumlanabilir:
- \sqrt{8} için sonucun 4 olması, 4’ün karesi 16
yani 16 > 8 ve en küçük tam kare - \sqrt{75} için sonuç 8, 8^2=64 < 75 değil, burası çelişkili.
Öyleyse işlem şöyle olabilir:
- Pembe kutu içinde yazılan sayının kendisinden büyük en küçük tam kare sayının karekökü yazılır.
Örneğin:- 8’den büyük en küçük tam kare 9 (3²), fakat sonuç 4 verilmiş, bu da 4²=16, 16 > 8, en küçük tam kare 9 yerine 16 alınmış, yani burada bir sonraki tam kare (belki) değil iki katı alınmış.
Bu kadar karışıklık olmaması için soruyu verilene göre analitik çözüm yapalım:
Tekrar ve net çözüm:
Sorunun metni:
- Pembe kutuların içine yazılan sayı için: sayıdan büyük en küçük tam kare sayı bulunur.
- Mavi kutuların içine yazılan sayı için: sayıdan küçük en büyük doğal sayı bulunur.
Örnek:
- \sqrt{8} pembe kutu: sonucu 4
- \sqrt{75} pembe kutu: sonucu 8
Burada 4 ve 8 pembe kutunun içindeki sayıya karşılık. Sonrasında pembe ve mavi kutuların birlikte gösterimi var.
Pembe kutu için örnek (8 sayısı):
- 8’den büyük en küçük tam kare sayı: 9
- Ancak verilen sonuç 4. Bu, 4² =16, 16 > 8. 16 da 8’den büyük ancak 9 daha küçük.
Bu durumda örnekle uyuşmuyor.
75 sayısı için:
- 75’den büyük en küçük tam kare sayı: 81
- Verilen sonuç: 8, 8² = 64 < 75, bu da çelişki.
Muhtemel doğru yorum:
- Pembe kutuların içine yazılan sayı, sayıların karekökü.
- İşlem ise, o sayının kendisinden büyük en küçük tam kare olan sayının karekökünü veriyor.
Örneğin,
- \sqrt{8} , 8 kendisi değil, kutudaki sayı aslında 8’in karekökü değil. Ancak sonuçta pembe kutu sonucu 4 olarak verilmiş.
Belki de:
- Pembe kutulara yazılan sayının tamkare değil, kökü verilmiş.
- İşlem: pembe kutunun içindeki sayı (örneğin 8), kendisinden büyük en küçük tam kare sayının karekökü alınıyor.
Örnek:
- 8’den büyük en küçük tam kare 9
- Karekökü 3 → Fakat örnekte 4 verilmiş.
Yani 8 (karekökü), sonuç 4: 4²=16 > 8
Belki işlem:
-
“Kendinden büyük en küçük tam kare sayı” değil de, “pembe kutunun içine yazılan sayının kendinden büyük en küçük tam kare sayısını hesaplıyor; yani en küçük tam kare sayı kendisinden büyük veya eşit” olarak düşünürsek:
-
8’den büyük veya eşit en küçük tam kare sayı 16 (4²)
-
75’den büyük veya eşit en küçük tam kare sayı 81 (9²) ve verilen sonuç 8. Bu uyuşmuyor.
Bu karmaşıklığı ortadan kaldırmak için, sorunun kendisi şöyle okunabilir:
-
Pembe kutu içine yazılan sayı için:
Örneklerde: \sqrt{8} : 4
Burada 4, 8’den büyük en küçük tam kare sayının kareköküdür. -
8’den büyük en küçük tam kare sayı 9, karekökü 3
-
Ama örnekte 4 verilmiş; o zaman burada mantık tam kare sayılardan değil, tam kare sayıların karekökünden büyüklük sırasına bakılıyor olabilir.
Alternatif:
- 8 sayısının karekökü yaklaşık 2.828
- Kendinden büyük en küçük tam kare sayının karekökü k, k^2 \geq 8
- k^2 \geq 8 \implies k \geq \sqrt{8} \approx 2.828, en küçük tam sayı büyük veya eşit olan 3,
- Ama sonuç 4 verilmiş.
Sonuç olarak, verilen örneklerdeki sonuç sayıların tam karelerinin, işlem sonucunun olduğunu görmeliyiz:
- \sqrt{8} : 4 → 4²=16 > 8
- \sqrt{75} : 8 → 8²=64 < 75 → çelişki
Bunu oturtmak için şöyle düşünebiliriz:
-
Pembe kutu işlem sonucu, “pembe kutudaki sayının kendisinden büyük en küçük tam kare sayının karekökü” değeri olarak verilmiş.
-
Yani:
- 8 sayısından büyük en küçük tam kare sayı 9, karekökü 3
- 75 sayısından büyük en küçük tam kare sayı 81, karekökü 9
Fakat verilen sonuçlar 4 ve 8. Burada sonuç verilen sayılar, hesabın sonucunda bulunan sayılar. O zaman mavi kutu için:
- Mavi kutudaki sayı için: kendisinden küçük en büyük doğal sayı.
O halde; verilere göre mantıklı olan:
Net Çözüm:
Birinci örnek (kare içeride 8):
- Pembe kutuda 8 var.
- Kendinden büyük en küçük tam kare sayı: 9
- Karekökü: 3
- Mavi kutuda 4 var (örnekte sürpriz bu).
- Aslında örneklemede: pembe kutu sonucu 4 verilmiş, mavi kutuda ise 4.
Yani 4 sayısı: 9’un bir üstü 4 mü? Hayır.
Bunu daha net çözmek için sadece soru kısmına bakalım.
Soru Kısmı:
- \sqrt{180} ifadesi hem pembe hem mavi kutu içinde.
- Yani önce pembe kutu işlemi yapılıyor, sonra mavi kutu işlemi.
Pembe kutu için:
- 180’den büyük en küçük tam kare sayı nedir?
- 169 (13²), 196 (14²) → 196 > 180, en küçük tam kare sayı 196
- Karekökü: 14.
Mavi kutu için:
- İçindeki sayı pembe kutudan çıkar → 14
- 14’ten küçük en büyük doğal sayı 13
Sonuç:
Soruda verilen işlem sonucu 13 olacaktır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?